1、1,第七章 力 法,7-1 超静定结构的组成和超静定次数,7-2 力法的基本概念,7-3 超静定梁、刚架和排架,7-4 超静定桁架和组合结构,7-5 力法简化计算和对称结构的计算,7-8 超静定结构的位移计算及力法计算校核,7-6 两铰拱和无铰拱,7-7 支座移动和温度改变时的计算,2,超静定结构有如下特征：1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束 的几何不变体系。2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要补充位移条件。,7-1 超静定结构的组成 和超静定次数,一、超静定结构的组成,若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多
2、组解答。,3,如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座B的竖向反力可以是任意值。,4,二、超静定次数,超静定次数 n = 结构多余约束数目。,为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆除的多余约束数。,规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；,3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。,5,例：,a),原结构,6,c),d),7,e),f),不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除。,原结构,8,7-2 力法的
3、基本概念,解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件。,一、基本思路,1. 力法的基本体系和基本未知量,如左下图超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。,9,10,2. 力法基本方程,力法基本方程为,基本体系的位移=原结构的位移,原结构B截面竖向位移,因为,方程可写为,11,讨论：,1）力法方程是位移方程； 2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移； 3）系数的物理意义：,基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移；,基本结构在FP作
4、用下沿X1方向的位移。,12,3. 力法计算,1) 求系数及自由项,13,3) 作内力图,M图,FQ图,2) 求未知力X1,14,二、多次超静定结构的力法计算,下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图。,15,16,力法方程为,作 图及MP图，求出力法方程的系数和自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求内力：,同一结构可以不同方法拆除多余约束. 也就是可以按不同方式选取力法的基本体系和基本未知量. (1)基本方程个数和形式相同; (2)基本未知量含义不同; (3)变形条件含义不同. 基本体系应是几何不变体系.,n次超静定结构:,力法典型方程。,由位移互等定理：ij
5、= ji，,柔度矩阵，对称矩阵,根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义。,主系数：11、22、33恒大于零。,副系数：ij (ij)可能大于、等于或小于零。,求出力法方程的系数和自由项，解方程求出力法未知量，然后根据叠加原理求内力,20,7-3 超静定刚架和排架,一、连续梁,用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间支座处变为铰，如下图所示。,原结构 B=0 C=0,21,B=0 B左右截面相对转角等于零。 C=0 C左右截面相对转角等于零。,位移方程,22,1. 力法方程,方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的物理意义。,2. 方程求解,图、 图及MP图见下页图示。上述弯矩图的一个
6、特征是：弯矩图局部化。,23,24,将系数代入力法方程就得到：,解方程得：,3. 作内力图,1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。,25,2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。,26,很容易求得CD杆剪力为:,27,二、超静定刚架,例7-3-1 求图示刚架M图。,1. 力法方程,通常只考虑弯矩影响, 以简化计算(轴力和剪力忽略),28,2. 方程求解,29,30,将求得的系数代入力法方程就得到：,解方程得：,31,3. 讨论,1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则,刚架弯矩图为：,可见，柱AB相当于在横梁BC的B端提供了固定约束。,32,2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。,3）当k=
7、，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当于简支梁，M图见图b)。,33,结论：在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k 相关，而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关。若荷载不变，只要k 不变，结构内力也不变。,34,三 、排架,计算时通常忽略横梁的轴向变形,35,例7-3-3 求图示排架M图。,排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。这样，MP图和 图局部化，求解力法方程系数比较简单。,36,解：,1）基本体系和力法方程,2）求系数和自由项,方程物理意义：横梁切口左右截面相对水平位移等于零。,37,38,4）作M图,M图(kN
8、.m),3）求多余未知力,39,一 、超静定桁架,以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。,7-4超静定桁架和组合结构,40,基本体系I：,力法方程：,力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，杆AB切口左右截面相对于水平位移等于零。基本结构中包括AB杆。,基本体系I,41,基本体系II：,力法方程：,力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸长，但符号相反。基本结构中不包括AB杆。,42,例7-3-2 求上图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。,根据上述基本体系I求得各杆FNP及 标于图中。,解:,43
9、,44,求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：,二、超静定组合结构,解：（1）基本体系和力法方程,（2）系数和自由项,（3）求多余未知力,（4）求内力,（5）讨论,为简支梁，最大弯矩148.3kNm，减少46%！ 结构内力与横梁和桁架的相对刚度有关，下部链杆截面小，横梁弯矩图接近于简支梁；截面很大，横梁弯矩图接近于两跨连续梁。,50,7-5 力法简化计算和对称结构的计算,一、力法简化计算的思路,若一个结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法方程为：,51,在上列方程中，主系数ii恒大于零，副系数 ij（ij）则可能大于零、等于零或小于零。,若能使全部副系数ij等于零，则方程组解耦，力法方程变
10、为：,即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。所以，力法简化计算的目的：使尽可能多的副系数等于零。,52,二、非对称结构的简化计算,对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 图及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本结构时应考虑这一因素。,53,排架结构 基本体系,三 、对称结构的简化计算,对称结构： （1）结构的几何形式和支承情况对某轴对称； （2）杆件截面和材料性质也对此轴对称（故截面刚度EI对此轴对称）,55,1. 对称结构在对称荷载作用下的简化计算,荷载分解：任何载荷可以分解为 对称荷载和反对称荷载,56,l/2,X1，X2对称未知力,X3反
11、对称未知力,根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：,于是，原力法方程变为：,57,结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称未知力为零，只有对称未知力。,2. 对称结构在反对称荷载作用下的简化计算,58,根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：,于是，原力法方程变为：,59,对于前两个方程组成的方程组，因其右端项为零，且系数行列式的值通常不等于零，即,结论： 对称结构在反对称荷载作用下，其对称未知力为零，只有反对称未知力。,于是，方程组只有零解：X1=0，X2=0。,60,3. 非对称荷载的处理,对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法为：,1）非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载分别计算，然后叠加
12、两种情况的结果。,61,2）荷载不分解，只取对称基本体系。,62,根据 ，MP图的对称性或反对称性可知：,于是，原力法方程变为：,例7-5，求对称刚架弯矩图。,解：分解荷载。对称荷载只在横梁产生轴向压力FP/2，只需计算反对称荷载下弯矩图。,反对称荷载下：,代入力法方程，并设,，得,讨论：弯矩图随横梁与立柱的刚度比值k而改变 （1）当横梁比立柱的I小很多，即k很小时，柱顶弯矩趋于零； （2）当横梁比立柱的I大很多，即k很大时，柱的弯矩零点趋于柱的中点； （3）一般情况下，柱的弯矩图有零点，此弯矩零点在柱上半部范围内变动，在刚架受水平结点荷载的近似计算中，当 时，将弯矩零点置于柱中点（视横梁刚度
13、 ），以简化计算。,一、两铰拱图例,7-6 两铰拱与无铰拱,曲杆计算系数时不能采用图乘法，计算时一般只考虑弯曲变形；计算时，有时（较平的扁拱且截面较厚时）要考虑轴向变形。因此,两铰拱是一次超静定结构，选用简支曲梁作基本体系，推力为基本未知量，则力法方程（支座B无水平位移）为：,基本结构在X1=1作用下，竖向支座反力为0，任意截面弯矩和轴力为：,只承受竖向荷载的简支曲梁任意截面弯矩：,代入得,于是，,最后，内力计算同三铰拱：,两铰拱计算过程同两铰刚架，但系数计算不能采用图乘法 受力特性基本同三铰拱，但FH值不同，三铰拱推力由平衡条件计算，两铰拱推力由变形条件计算,屋架结构采用带拉杆两铰拱，是砖墙
14、或立柱不承受推力，不产生弯矩；拱肋承受推力，减小了拱肋的弯矩。,力法方程（切口两边无相对位移）为：,形式与两铰拱相同，但系数计算需考虑拉杆变形：,即,其余计算同两铰拱。 最后结果分别为：,例7-6，拱轴方程,解：两个假设：,可以得弯矩图,讨论： 两铰拱与三铰拱推力相同并非普遍性结论，在其它荷载或计算位移时不忽略轴向变形，则两者不一定相等；但一般荷载下两者是接近的。,例7-7，求水平推力和拱顶弯矩影响线。,二、无铰拱,1. 添加刚臂，两个刚臂刚性连接，任意荷载下，刚性连接处没有任何相对位移，则切口处也没有任何相对位移。由此知带刚臂的无铰拱与原来的无铰拱是等效的，可互相代替。 2. 取基本体系：刚
15、性连接处切开 3. 确定刚臂长度，即刚臂端点位置，使副系数 ，根据此条件反推端点位置。刚臂处无应变，因此积分范围只包括拱轴全长。,选O点为坐标原点,单位力X1=1作用下内力,单位力X2=1作用下内力,代入得,则,取新的坐标系：y= y +d,令,，得,是总弹性面积，积分,左上图为实际无铰拱，左下图另设想一窄条面积，以拱的轴线为它的轴线，拱的截面抗弯刚度倒数（1/EI）为它的截面宽度，这个设想的面积称为弹性面积。,是弹性面积对x轴的面积矩，是弹性面积形心到x轴的距离。 刚臂端点O就是弹性面积的形心，称为弹性中心。 如上介绍的计算方法称为弹性中心法。,积分,超静定拱多为变截面，系数计算多用数值积分
16、法分段求和计算。,解：（1）求圆拱半径和拱的圆心角,基本结构在荷载q作用下的弯矩方程为：,解： 第一种情况：忽略轴向变形时的内力计算：取三铰拱作基本体系。,基本结构在荷载下内力：,忽略轴向变形时自由项为：,因而，多余未知力全部为0。 由此知，此时无铰拱内力状态与三铰拱相同，为无弯矩状态。第二种情况，考虑轴向变形时的内力计算。 采用弹性中心法，受力状态分为两部分： （1）不考虑轴向变形时荷载引起的受力状态无弯矩状态 （2）单纯由轴向变形引起的受力状态附加内力状态,第一种受力状态前已求出； 第二种受力状态由弹性中心处的多余未知力X1和X2引起（X3=0） 用弹性中心法求X1和X2，由上例知：,95
17、,7-7 支座移动和温度改变时的计算,一 、温度应（内）力的计算,下面通过例题进行说明。,例7-5-1 图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。，到冬季时室外温度为-35 。，室内保持不变，求M图。各杆EI相同，线膨胀系数为。,96,X1=1,1) 温度改变值：,所以,2) 力法方程,解：,3) 求未知力,97,4) 作弯矩图,讨论: 1. 超静定结构在温度变化引起的杆件内力与杆件抗弯刚度EI成正比。给定温度条件下，截面越大，内力越大。因此为改变结构在温度条件下的受力状态，加大截面尺寸并非一个有效的途径。 2. 杆件有温差时，升温面产生压应力，降温面产生拉应力，因此钢筋混凝土结构应特别注意因降温可能
18、产生的裂缝,例7-16，求无铰拱由于均匀温度变化和混凝土收缩产生的内力。解：弹性中心法，因对称，多余未知力剪力为0。,所以,101,二、超静定结构支座移动时的力法计算,超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形，而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路。,原结构,（受X1及支座转角共同作用）,（只有X1作用，支座转角 对杆端A无影响）,102,（受X1及支座转角共同作用时, B点垂向位移为0）,解：,1）选两种基本体系如下图示,2）力法基本方程,位移条件,力法方程,（X1作用下，A支座转角为）,1
19、03,3）求系数和自由项,4）求未知力X1,104,5） 作内力图,在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示，则力法方程成为：,105,小结：,1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。 2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：,为基本体系由X=1产生的支座反力；,为基本体系的支座位移。,3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。,106,例7-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数iC。,解:,1）取两种基本体系如下图示,107,基本体系I,基本体系II,2）
20、建立力法方程,讨论方程及系数的物理意义。,108,3） 求自由项,本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。,109,110,7-6 超静定结构的位移计算及力法计算校核,一、 超静定结构的位移计算,用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。,对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。,111,例7-6-1 求梁中点竖向位移CV，EI为常数。,解：,1) 单位荷载加在原结构上,11
21、2,基本体系I,2) 单位荷载加在基本体系I上,113,基本体系II,3）单位荷载加在基本体系II上,114,例7-6-2 求图示刚架结点水平位移DH，各杆EI如图示。,解：单位荷载分别加在四种基本体系上，显然基本体系1的计算最简单（见下页图）。,115,116,117,二、 超静定结构内力图的校核,超静定结构内力图的校核，除了校核求得的M、FQ、FN是否满足平衡条件外，最主要的是变形条件的校核。只有既满足平衡条件又满足变形协调条件的解答才是超静定结构正确的解答。在进行变形条件的校核时，通常选择原结构位移等于零的截面进行校核，也就是进行超静定结构的位移计算。,如下图连续梁，可以校核BV 、 C
22、V、 DV是否等于零，也可以校核A、 B、 C是否等于零。,118,图,校核A,图,校核DV,图,校核 B,119,120,例7-6-3 判断如下图a)所示弯矩图是否正确。,显然， ，可知M图有错误。,121,例7-6-4 判断如下图a)所示结构结点D水平位移的方向。,解：取图b)所示基本体系，在结点D加单位水平荷载，作 图。,可见，结点D水平位移方向向右。,122,对于如下图示封闭型刚架，可以得到位移校核的简单公式。梁、柱长均为6m。,图,上图封闭刚架已求得弯矩图，为验算E左右截面相对转角E是否等于零，切开E截面，加上一对单位集中力偶，得到 图，则,123,由上式得出结论，当结构只受荷载作用时，沿封闭刚架M/EI图形的面积之和等于零。,在计算M/EI的面积之和时，规定刚架外侧的面积为正，刚架内侧的面积为负，或者相反。,平衡条件校核,
