1、1,第11章 压杆稳定,1 压杆稳定的概念 2 临界力和临界应力 3 压杆的稳定计算 4 提高压杆稳定性的措施,11-1 压杆稳定的概念,工程中的稳定问题 轴向受压杆的承载能力是依据强度条件确定的。但在实际工程中发现，许多细长的受压杆件的破坏是在满足了强度条件情况下发生的。 做一个简单的实验；取两根矩形截面的松木条，A=305mm，一杆长为20mm，另一杆长为1000mm。若松木的强度极限b=40MPa，按强度考虑，两杆的极限承载能力均应为P=40305=6000N。但是，我们给两杆缓缓施加压力时会发现，长杆在加到约30N时，杆发生了弯曲，当力再增加时，弯曲迅速增大，杆随即折断。而短杆可受力到
2、接近6000N,且在破坏前一直保持着直线形状。显然，长杆的破坏不是由于强度不足而引起的。,在工程史上，曾发生过不少类似长杆的突然弯曲破坏导致整个结构毁坏的事故。其中最有名的是1907年北美魁北克圣劳伦斯河上的大铁桥，因桁架中一根受压弦杆突然弯曲，引起大桥的坍塌。这种细长受压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，经研究后知，它是由于杆件丧失了保持直线形状的稳定性而造成的。这类破坏称丧失稳定。杆件招致丧失稳定破坏的压力比发生强度不足破坏的压力要小得多。因此，对细长压杆必须进行稳定性的计算。,2.其它的稳定问题,狭长矩形截面梁的侧向整体失稳 薄板的失稳 薄壁圆柱筒的失稳 拱的失稳,3.压杆的
3、稳定平衡和不稳定平衡,稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。,(a),(b),当 P增大到一定的临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 c），压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。,(c),临界力（Pcr）的概念 中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。,压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。 压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。,122 临界力和临界应力,两端绞支压杆的临界力 假定压力已达到临界值P=
4、Pcr，杆已经处于微弯状态如图。从挠曲线入手，求临界力。,一.欧拉公式,其中 I 为横截面的最小形心主惯性矩。,令,则有二阶常系数线性微分方程,其通解为,A，B，k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。,因为临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩I最小的轴Imin弯曲。,令,2.不同杆端约束下细长压杆的临界应力、压杆的长度系数,推论：在其它约束情况下，临界力为：,为压杆的长度系数; l 为相当长度。,几种理想的杆端约束情况下 压杆长度系数见表11-1或下图,课堂练习： 图示各杆材料和截面均相同，问哪根压杆能忍受的 压力最大，哪根最小？,答：图(d）最大，图（
5、a)最小,提示,例11-1：已知一中心受压柱受力如图，l=2m，材料的截面为矩形:bh=2045mm2, a=30mm。 试求：两者的临界力。,解：一端固定，一端自由的2,y,比较（）,作 业 1,P176 习题1 习题2,预习本章下几节!,二、欧拉公式的应用范围,压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式） 压杆受临界力Pcr作用而仍在直线平衡形态下维持稳定的平衡时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。,为压杆横截面对中性轴的惯性半径,矩形截面的惯性半径i:,圆形截面的惯性 半径i:,称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度， 杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。, 越大，相应
6、的 cr 越小，压杆越容易失稳。,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算 压杆的临界应力cr 。,欧拉公式的另外一种表达形式,2. 欧拉公式的应用范围,只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力 Pcr（临界应力 cr ）。,或,P 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，P=200MPa，得,右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。,三.中长杆的临界应力、临界应力总图,1.经验公式,.直线型经验公式,也有适用范围,大柔度杆的分界：,2.临界应力总图,
7、例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm， l=1.2m, l=0.8m, l=0.5m; 试求：三者的临界力。,解：两端铰支的1,查表2得：,查表2得：a=304, b=1.12,例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm， l=1.2m, l=0.8m, l=0.5m; 试求：三者的临界力。,解：两端铰支的1,作 业 2,P176 习题2,预习本章下几节!,12-3 压杆的稳定计算,稳定条件安全系数法确定容许应力:,取稳定安全系数为nst,以 表示稳定许用应力，则：,为了防止压杆失稳，则必须使压杆的工作应力,小于或等于许用应力 ，即：,压杆的强度条件 (强度许用应力),:稳定
8、系数,主要与柔度有关，见表11-3,稳定计算,稳定校核：确定许可荷载：截面设计：（试算法）假定一折减系数值(0与1之间)，由稳定条件计算所需要的截面面积A，然后计算出压杆的长细比，根据压杆的长细比查表得到折减系数，再验算是否满足稳定条件。如果不满足，则应重新假定折减系数重复上述过程，直到满足稳定条件为止。,例11-3如图所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为Q235钢，直径d=20mm，材料的许用应力=170MPa，已知h=0.4m。试校核二杆的稳定性。,解：,（1）求二杆的轴力：,满足稳定条件,(4)稳定校核,(插值法),【课堂练习】 一圆木柱高l=6m,直径D=20cm，两端铰支，承受轴向荷载P=50kN,试校核其稳定性，许用应力,解:,满足稳定条件,例11-4 截面为I40a的压杆，材料为16Mn钢，杆长l5.6m， 在xz平面内失稳时杆端约束情况接近于两端固定，,故长度系数可取为 ；在xy平面内失稳时为两端铰支，,试计算压杆所允许承受的轴向压力P。,解,查P363工字钢表I40a可知:,用插值法：,所以压杆允许的轴向压力为P543kN,作 业 3,P176 习题7,预习本章下几节!,本章结束,
