1、1 弹性力学课后习题答案全解 (一二三四 ) 第二章 1.答： （ 1） 平衡微分方程为： 00yxxxy xyyfxyfyx xyq 时， 0yxxy ，又 0xy yx，所以 0yx xyyx，且体 力不计，即 0xyff，所以能满足平衡微分方程。 （ 2）相容方程为： 22 1 yxxy ffx y x y 方程左右两端均为 0，所以满足相容方程。 （ 3）边界条件为： ( ) ( )( ) ( )x s yx s xy s xy s yl m fm l f 其中 cos , coslm c o s , c o sxyf q f q ，又 0xy yx，所以满足边界条件。 （ 4）位移单
2、值条件为：令应力分量表达式中可能留有的待定函数或待定常数通过积分产生的多值项为 0。 2.解 ： 图 a 图 b 图 c (1) 在图 b 中，我们由剪力平衡方程和弯矩平衡方程得到： F Y X F Y X Y Z 11 h 2 0FQ，即 QF 0M Fx,即 M Fx 在图 a 中，有： 惯距 2322112hhzI y dy h静距 2222 82hhz yy hyS yd A yd y 再由材料力学公式得到： x M FxyyII 0y 2 21 2 4xy Q S F S F h yIb I I 由上面三式我们可以得到： x F yxI （ 1） 0yy （ 2） xy F yyI
3、（ 3） 0xyx （ 4） 体力不计，即： 0xf （ 5） 0yf （ 6） 将（ 1） （ 6）式带入平衡微分方程： 0xyxxfxy 0y xyyfyx 显然满足平衡微分方程。 根据（ 1）（ 3）式，得： 3 22 0xx （ 7） 22 0yy （ 8） 将（ 7）（ 8）式代入相容方程 (体力不计 )： 2 ( ) 0xy 显然也满足相容方程。 (2) 边界条件 在 12yh 面上： 1 0X 10Y 0y 0yx 10l 11m 代入边界条件： 1 1 1x xyl m X 1 1 1y xym l Y 满 足边界条件。 在 12yh 面上： 2 0X 2 0Y 0y 0yx
4、20l 2 1m 代入边界条件： 2 2 2x xyl m X 2 2 2y xym l Y 满足边界条件。 在 0x 面上： 202 ( ) 0hh xx dy 2 02( ) 0hh xx ydy 2 2220( ) ( )24hhx y xhPd y y d y PI 由圣维南原理：在 0x 面上，作用着平衡力系，所以只在平衡力系得近处产生显著应力，对远处影响忽略不计。 3.解： 平衡微分方程组为 ： 4 00yxxxy xyyfxyfyx 其中 ,xyVVffxy . 取该方程组的一组特解： ,0x y xyVV ， 齐次方程组00yxxy xyxyyx 的通解为 22222xyxyy
5、xxy 所以微分平衡方程组的解为 22222xyxyVyVxxy 即应力分量可以用应力函数表示为 22222xyxyVyVxxy 下面推导相应的相容方程： （ 1）平面应力的情况下的相容方程为： 22 1 yxxyffx y x y 5 将微分方程组的解代入上式得： 42( 1) V （ 2）平面应变的情况下的相容方程为： 22 11 yxxy ffx y x y 将微分方程组的解代入上式得： 42121 V 4.证明： 由于任一斜面上的正应力可以表示为： 2 1 2 2()N l 其中 l 表示斜面外法线方向与 x 轴方向夹角的余弦。 1 2 表示该点的两个主应力。 当切应力最大或最小时，有
6、 12l，所以 2 12l 有 122N ，即在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 第三章 1、解：由题 意可知：简支梁所受体力为 Fg ，所以 0,xyf f g 应力函数为： 2 3 2 3 2 5 4 3 2( ) ( )2 1 0 6x A BA y B y C y D x E y F y G y y y H y K y 从而得应力分量： 223222322226 2 ( 6 2 ) 2 2 6 22( 3 2 ) ( 3 2 )xxyyxyxf x A y B x E y F A y B y H y Kyf y A y B y Cy D g yxx A
7、 y B y C E y F y G （ a） 考虑对称性， ,xy为 x 的偶函数， xy 为 x 的奇函数。于是得： 0E F G 。 下面考虑上下两边的边界条件： 22( ) 0 , ( ) 0y h xy hyy ，代入（ a），得： 32 08 4 2 2h h h hA B C D g 6 32 08 4 2 2h h h hA B C D g 23( ) 04hx A hB C 即23 04h A hB C 23( ) 04hx A hB C 即23 04h A hB C 以上四式联立得：223, 0 , ,22g g gA B C Dhh 代 入（ a），并注意 0E F G
8、得： 22322264+ 6 223226 +2xyxyggx y y H y Khhg g gy y g yhhggx y xh （ b） 现在考虑左右两个边的边界条件，由于对称性，只需考虑一边，例如右边，也就是xl ，用多项式求解，只能要求 x 在这部分边界上合成 为平衡力系，也就是要求： 2- 2 ( ) 0 ,hh x x ldy 2-2( ) 0hh x x l ydy 。 代入（ b）得： 220, 10gl gKH h 因为梁截面的宽度是 b=1，惯距是 3112Ih ，静距是 2282hyS，而梁的任一截面上的弯矩和剪力分别是 2 2 2( ) ( ) ( )22qqM q l
9、 l x l x l x ()SF ql q l x qx 将所求系数代入应力分量表达式得： 7 222243()5412xyMyy gyIhgy yh 2、解： 假设 0x ，因为 22x y ，所以 12( ) ( )yf x f x ， 相容方程为： 4 4 44 2 2 4+ + 0x x y y ，将应力函数的表达式代入相容方程得： 441244 0d f x d f xy dx dx， 上式是一个一元一次方程，对于任意的 y 都成立，因此系数都为零，则有 4 1 4 0d f xdx 和 4 2 4 0d f xdx 从而解得： 1fx= 32Ax Bx Cx 2fx= 32Dx
10、Ex 1fx中的常数项以及 2fx中的一次项和常数项都不影响应力分量 ,所以被略去。 于是有： 3 2 3 2()y A x B x C x E x F x 根据条件可知， 0,xyf f g。所以应力分量为： 22222206 2 6 2( 3 2 )xyyxyyf y A x y B y E x F g yxA x B x Cxy 根据边界条件 00( ) , ( ) 0 , ( ) 0x y x h x y x y yq 求得系数2 , , 0qqA B C E Fhh ，所以： 8 023(1 )3( 2 )xyxyqy x gyhhqx xhh 3、解： 假设 ()y xf y ，由
11、题意知体力分量 ,0xyf g f 又 22yyfyx ，所以 22 ()xf yx，得： 312( ) ( ) ( )6x f y xf y f y 相容方程为： 4 0 ，将应力函数的表达式代入相容方程得： 443 4 2 124 2 4 4( ) ( )( ) ( ) 2 06 d f y d f yx d f y d f yxd y d y d y d y 对于任意的 x 都成立，必须： 4442124424()0()()20()0d f ydyd f yd f ydy dyd f ydy325 4 3 21322()() 1 0 6()f y A y B y Cy DABf y y
12、y H y Ky G yf y E y F y 从而可得应力函数： 3 3 2 5 4 3 2 3 2( ) ( )6 1 0 6x A BA y B y C y D x y y H y K y G y E y F y 故应力分量为： 423 3 222322222 3 2( 2 2 6 2 ) ( 6 2 )3()2( 3 2 ) ( 3 2 )2 2 3xxyyxyBf x x A y x A y B y H y K E y F g xyf y x A x B x Cx Dxx A BA y B y C y y H y Ky Gxy 9 根据应力边界条件 : 2 2 21( ) , ( )
13、 0 , ( ) 0b b by y x yy y ygx 可解得： 1 1 1323, 0 , , , 022g g gA B C D Khh 在次要边界 0x 上，应用圣维南原理，可列出三个边界积分方程： 222222000( ) 0( ) 0( ) 0bbbbbbxxxxxy xdyydydy解得 110 , ,1 0 8 0g g hE F H Gh 代入应力分量表达式得： 331 1 13331 323211332 3 4531()2 2 233( 3 ) ( )4 1 0 8 0xyxyg g gx y x y x y g xh h hyygxhhy y y hg x g yh h
14、 h h y 4、解： 假设应力函数为 3 2 2 3A x B x y C xy D y 。体力分量 0,xyf f g 然后由应力分量表达式得： 22 26Xxf x C x D yy 22 62yy f y A x B y g yx 2 22xy B x C yxy 显然这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的 由边界条件得： 在上面（ 0y ）， 0( ) 0yy ，即 60Ax ，对任意 x 都满足，所以 0A 0( ) 0xy y ，即 20Bx ，对任意 x 都满足，所以 0B 在左面（ tanyx ）， cos( , ) cos(90 ) sin ol N x ， 10 co
15、 s( , ) co sm N y 。 由边界条件得： s i n c o s 0x x y co s sin 0y xy 得到： cot2gC ， 2cot3gD 所以应力分量表达式为： 2c o t 2 c o tx g x g y y gy cotxy gy 1、 解： 由图知： c o s sinsin c o sc o s sinsin c o su u vu u vu u uv u u 2、解：由于 22(1 2 l n ) 2( 3 2 l n ) 2A BCA BC （ 1） 由题意知 u u u v x y 11 ()( ) 0abq （ 2） 由位移单值条件知： 0B 将（
16、 2）式代入（ 1）式得： 22222222a b qAabaqCab 1 2 ( 1 2 ) c o s s i nAu C p I KE （ 3） 由 s i n c o s 0u H I K 得： 0IK 由以上各式得： 2 2 2222222(1 )()1(1 ) 2(1 )()1abqa b auE b aqa abuE b aqa b aE b a 3、 解： 2 2A C 1 2 (1 2 ) AuCE 由题意知： ( ) ( ) 0abqu 可得： 22222(1 2 )(1 2 )2 (1 2 )qa bAbaqaCba12 又 2222A CA C 得： 222222221
17、 2 11 2 11 2 11 2 1bqabbqab4、 解： 对于纯剪切应力状态，在其 45 方向上，有： 0x y xyqq 以 b 为半径作圆 ()ba，利用应力分量坐标转换式可得外边界条件：22( ) c o s s in c o s 2( ) 2 s in c o s s in 2bbq q qqq 其内边界条件为： 00aa 由齐尔西解答得： 2244222222(1 3 ) c os(1 ) (1 3 ) c os 2(1 ) (1 3 ) i 22snaaqaaqaq a 时： 04 cos 20q 所以孔边的最大和最小正应力为 44qq和 。 13 5、解：楔形体内任意一点
18、的各应力分量决定于 q 、 、 、 。根据量纲分析，各应力分量的表达式只可能取 Nq 的形式。可见，应力函数 应该是 2 f 的形式。 将上式代入相容方程得： 422 4 21 4 d f d fdd 再由各应力分量表达式得： 2 c o s 2 2 s in 2 2 22 c o s 2 2 s in 2 2 22 s in 2 2 c o s 2A B C DA B C DA B C 边界条件： 22( ) 0() q 由于载荷的作用是对称的，所以 和 应为 的偶函数， 应为 的奇函数。得： 0BC， 再由边界条件得： ,2 s i n 2 t a nqqAD 将所得系数代入各应力分量表达
19、式得： c os 2( c ot )sinc os 2( c ot )sinsin 2sinqqq 6、解：楔形体内任意一点的应力分量决定于 、 、 F、 、 ，由量纲可知，各应力分量表达式只可能取 FN的形式。因此可假定应力函数为： = ( )f 将应力函数代入相容方程得： 423 4 21 20d f d f fdd 求解得： c o s s i n ( ) ( c o s s i n )A B C D ， 14 取： ( c o s s in )CD 由应力分量的表达式得： 222221 1 2( c o s sin )01( ) 0DC 上式显然满足楔形体上下两边的边界条 件，还应满足
20、： 00xyFF和 其中 2222c o ssinxyFdF d F 将所求应力分量表达式代入上式求得： ,0sinFCD 将所求系数代入应力分量表达式得： 222 si n()si n01( ) 0F 通 过坐标变换公式及 22s in , ,y xy 得： 22 2 222 2 22sin ( )2sin ( )xxyF x yxyF xyxy 7、 解： 假设 sin与 成正比， cos与 成正比。可设应力函数为： sin ( )f 15 将应力函数代入相容方程得： 4 2 34 2 2 3 4 3( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 2 ( )( ) 0d f d f d f d ffd
21、 d d d 解得： 3( ) ( l n ) Df A B C 所以 3s i n ( l n ) DA B C 由边界条件： 00 , 00,abba a F 得： 2 2 2 232 2 2 22 2 2 232 2 2 22 2 2 232 2 2 2si n( ) l n3si n( ) l nc os( ) l na b a bFba b a baa b a bFba b a baa b a bFba b a ba 8、 解： 设应力函数为： ln c o s s i nAB 应力分量表达式为： 222221 1 c o s( 2 )c o s1 sin()ABAA 由圆板的平衡条
22、件： 16 2200c o s s i n 0d d F 得： 2FB 将应力分量表达式代入物理方程得： 1 c o s( ) ( 1 ) 2 1 c o s( ) ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2 ( 1 )sinABEEABEEAEE 由于： 11uuuu u u 可得： 1c o s l n ( 1 ) 2 ( )s in ( 1 ) ( 1 l n ) 2 ( l n ) ( ) ( )u A B fEu A f d fE 将以上两式代入 表达式，得： 1( ) s i n ( )( ) 4 2 ( 1 ) ( ) 0d f d ff d A B fd E d 对 进行一次微分，得：
23、 2 2 2 c o s( ) 2 (1 ) df f A BdE 其特解为： s in 2 (1 ) ABE 所以 s i n( ) s i n c o s 2 ( 1 ) f C D A BE 于是 17 c o s s i nl n ( 1 ) 2 s i n c o s 2 ( 1 ) u A B C D A BEE 由位移单值条件得： 2 (1 ) 0AB 得： 14AF 所以应力分量表达式为： (3 ) c os4(1 ) c os4(1 ) si n4FFF9、解：在距坐标原点 l 处取一小段 dl ，将其上所受的力 0dF qdl 看作一个微小的集中力，则 cosdl d 。由（ 4-27）知： 3200220020022c o sc o s22sin c o ssin22sin c o ssin 2xyxyq d l qddq d l qq d l qdd 将上式对 12 从 到 积分得： 02 1 2 102 1 2 1012 2 ( ) ( sin 2 sin 2 ) 2 2 ( ) ( sin 2 sin 2 ) 2( c o s 2 c o s 2 )2xyxyqqq
