1、第2讲 线性规划与基本不等式,专题三 不等式,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.线性规划的要求是A级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值. 2.基本不等式是江苏考试说明中的C级内容，高考会重点考查.主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,例1 (1)(2017全国)设x，y满足约束条件 则z3x2y的 最小值为_.,热点一 简单的线性规划问题,解析,答案,5,解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，,此时z3(1)215.,解析,答案,线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形
2、结合的思想.需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.,解析,答案,2,解析 约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部.当a1时，当目标函数所在直线yaxz经过点(1,1)时，z取得最小值，则zmina12，即a3(舍去)；当a1时，当目标函数所在直线yaxz经过点(2,2)时，z取得最小值，则zmin2a22，即a2，符合题意，故a2.,解析,答案,(2)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：,30,分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分
3、别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为_ kg.,解析 设甲食物重x kg，乙食物重y kg，,维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，,A(20,10)，混合物重zxy，平移直线zxy， 由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为201030.,热点二 利用基本不等式求最值,例2 (1)(2018苏北六市模拟)已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_.,解析 abc4(ab)，,8,解析,答案,(2)设ABC的BC边上的高ADBC，a，b，c分别表示角A，B，C对应的三边，则 的取值范围是_.,解析,答案,解析 因为BC边上的高ADBCa，,
4、用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值.在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件.,解析,答案,跟踪演练2 (1)设a，b0，ab5，则 的最大值为_.,解析,答案,(2)(2018兴化三校联考)已知函数f(x)exexx33x，若正数a，b满足 f(2a1)f(b1)0，则 的最小值为_.,解析 由题意得f(x)f(x)，且f(x)为单调增函数，最多有一个零点， 所以f(2a1)f(b1)0，
5、即f(2a1)f(b1)， 所以2a11b，即 2ab2，,例3 (2018苏州期末)如图，长方形材料ABCD中，已知AB ，AD4.点P为材料ABCD内部一点，PEAB于E，PFAD于F，且PE1，PF .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN150，点M，N分别在边AB，AD上. (1)设FPN，试将四边形材料AMPN的面积表示为的函数，并指明的取值范围；,热点三 基本不等式的实际运用,解答,(2)试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值.,解答,利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立
6、数学模型. (2)注意当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.,答案,解析,跟踪演练3 一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达400 km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，则这批物资全部运送到灾区最少需_ h.,10,解析 时间最短，则两车之间的间距最小，且要安全，,真题押题精练,1.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_.,答案,解析,30,一年
7、的总存储费用为4x万元，,所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.,2.(2018江苏)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_.,答案,解析,9,解析 方法一 如图，,SABCSABDSBCD，,又A，D，C三点共线，,以下同方法一.,答案,解析,解析 由a(xy,2)，b(xy2,1)共线得,即(xy)22(xy)80，当且仅当xy时等号成立. 又由x，y是正实数，得xy4. 不等式a(ac)0，即a2ac， 所以(xy)24m(xy)3， 即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4， 则t2mt10，t4，)(*)恒成立. 对于方程t2mt10， 当m240，即2m2时，(*)恒成立；,100,答案,解析,4.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库面积S的最大允许值是_平方米.,解析 设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为Sxy， 依题意得40x245y20xy3 200，,所以S的最大允许值是100平方米.,
