1、14.数列、不等式1等差数列及其性质(1)等差数列的判定： an1 an d(d为常数)或 an1 an an an1 (n2)(2)等差数列的性质当公差 d0 时，等差数列的通项公式 an a1( n1) d dn a1 d是关于 n的一次函数，且斜率为公差 d；前 n项和 Sn na1 d n2 n是关于 n的二次函数且nn 12 d2 (a1 d2)常数项为 0.若公差 d0，则为递增等差数列；若公差 d0、 0、 0)解 原不等式化为 (x1)1时，不等式的解集为Error!；当 a1 时，不等式的解集为.6处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当 x
2、的取值为全体实数时，一般应用此法(2)转化为求函数最值问题，如大于零恒成立可转化最小值大于零(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形问题 6 如果 kx22 kx( k2)0，(910) (910) (910) 7 n10即 an1 an；当 n7 时， an1 an0，即 an1 an；当 n7时， an1 ana9a10，所以此数列的最大项是第 7项或第 8项答案 第 7项或第 8项易错点 5 裂项法求和搞错剩余项例 5 在数列 an中， an ，又 bn ，则数列 bn的前 n项和1n 1 2n 1 nn 1 1anan 17为_易
3、错分析 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的解析 由已知得 an 1n 1 2n 1 nn 1 (12 n) ，1n 1 n2从而 bn 4 ，1anan 1 1n2n 12 (1n 1n 1)所以数列 bn的前 n项和为Sn4Error!4 .(11n 1) 4nn 1答案 4nn 1易错点 6 线性规划问题最优解判断错误例 6 P(x， y)满足| x| y|1，求 ax y的最大值及最小值易错分析 由 ax y t，得 y ax t，欲求 t的最值，要看参数 a的符号忽视参数的符号变化，易导致最值错误解 P(x， y)满足的线
4、性区域如图所示当 a1时，直线 y ax t分别过点(1,0)与(1,0)时， ax y取得最大值与最小值，其值分别为 a， a.8易错点 7 运用基本不等式忽视条件例 7 函数 y 的最小值为_x2 5x2 4易错分析 应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域解析 y .x2 5x2 4 x2 4 1x2 4 x2 4 1x2 4设 t ，则 t2，所以函数变为 f(t) t (t2)这时， f(t)在2，)上单调x2 41t递增，所以 f(t) f(2) ，所以函数 y 的最小值为 .52 x2 5x2 4 52答案 5
5、21不等式21x1的解集是_答案 ( 1，12)解析 不等式21x1，2 x2 x10，当 取最小值时，实数 a的值是_12|a| |a|b答案 2解析 方法一 2 ，12|a| |a|b a b4|a| |a|b a4|a| b4|a| |a|b 14 b4|a|a|b 34当且仅当 a0，所以 ， a0，故 f(a)在(，2)上是减函数，在(2,0)上是增函数，故当 a2 时， f(a)取得极小值 ；同理，当 0 a0， b a，两边平方得 a b a2 m2b，ab a即 b2 m2b，ab a于是 m212 ，ab (ab)2令 t(0k的解集为 x|x2，求 k的值；(2)对任意 x
6、0， f(x) t恒成立，求 t的取值范围解 (1) f(x)kkx22 x6 k2是其解集，得 kx22 x6 k0 的两根是3，2.由根与系数的关系可知，(2)(3) ，2k即 k .25(2)因为 x0， f(x) ，2xx2 6 2x 6x 226 66当且仅当 x 时取等号6由已知 f(x) t对任意 x0恒成立，故 t ，66即 t的取值范围是 .66， )1312已知各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn，满足 8Sn a 4 an3( nN *)，且2na1， a2， a7依次是等比数列 bn的前三项(1)求数列 an及 bn的通项公式；(2)是否存在常数 a0且 a1，
7、使得数列 anlog abn(nN *)是常数列？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由解 (1)当 n1 时，8 a1 a 4 a13， a11 或 a13.21当 n2 时，8 Sn1 a 4 an1 3，2n 1an Sn Sn1 (a 4 an a 4 an1 )，18 2n 2n 1从而( an an1 )(an an1 4)0.因为 an的各项均为正数，所以 an an1 4.所以，当 a11 时， an4 n3；当 a13 时， an4 n1.又因为当 a11 时， a1， a2， a7分别为 1,5,25，构成等比数列，所以 bn5 n1 .当 a13 时， a1， a2， a7分别为 3,7,27，不构成等比数列，舍去所以数列 an和 bn的通项公式分别为 an4 n3， bn5 n1 ， nN *.(2)存在满足条件的 a，理由如下：由(1)知， an4 n3， bn5 n1 ，从而anlog abn4 n3log a5n1 4 n3( n1)log a5(4log a5)n3log a5.由题意，得 4log a50，所以 a .45
