1、第三章 函数及其图象第11讲 反比例函数,考点梳理过关,考点1 反比例函数的概念 6年1考,形如y (k0)的函数叫做反比例函数拓展(1)y (k0)可以写成ykx1(k0)的形式；(2)y (k0)也可以写成xyk的形式，用它可以直接求出反比例函数系数k；(3)对于反比例函数y ，有三个不等于0：系数k0，自变量x0，函数值y0.,考点2 反比例函数的图象和性质 6年4考,提示(1)在描述反比例函数图象的增减性时，一定要注明所在的象限，单独地说反比例函数图象增大或减少是错误的(2)比较函数值的大小时，一定要注意是否在同一象限内，或直接用函数图象进行比较如函数y 在每个象限内y随x的增大而减小
2、，若函数上有两个点(x1，y1)和(x2，y2)，若x1x20，则y1y2，若x10x2，则y1y2.(3)当系数k的值一定时，相关矩形(三角形)的面积随之确定，但当已知矩形(三角形)面积时，k的值要根据所在象限进行分析,考点3 求反比例函数的解析式,1解决反比例函数与一次函数及几何图形的综合题，一般以求反比例函数与一次函数图象的交点坐标为着眼点，求点坐标的常用方法：结合图形、图象性质求得函数解析式，再联立方程组求解一般情况下会得到两个点坐标，再根据题目要求找出符合条件的坐标 2在平面直角坐标系中求三角形面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上
3、的边，则用坐标轴(或与坐标轴平行的线)将其分割后求解,考点4 反比例函数的形积问题 6年1考,(1)根据题意找出自变量与因变量之间的乘积关系，建立反比例函数模型； (2)设出函数解析式y (3)依题意求解函数解析式及有关问题,考点5 反比例函数的应用,提示实际问题中的反比例函数，自变量的取值范围往往受到限制，这时对应的函数图象是双曲线的一部分,典型例题运用,类型1 反比例函数的性质,【例1】2018原创关于反比例函数y ，有下列说法：图象过点(5，2)；图象在第一、三象限；y随x的增大而增大；图象关于原点对称，其中正确的是 .,失分警示在描述反比例函数图象的增减性时，一定要注明所在的象限,答案
4、：,变式运用1.若点A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )Ay1y3y2 By1y2y3Cy3y2y1 Dy2y1y3,失分警示易由于盲目地运用函数增减性而错选B.准确理解反比例函数的增减性：(1)k0时，在每一象限内y随x的增大而减小；(2)k0时，在每一象限内y随x的增大而增大,D 点A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y 的图象上，A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限内，y随x的增大而减小y3为正，一定最大，y1y2.y2y1y3.,类型2 反比例函数系数k的几何意义,【例2】2016烟
5、台中考如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y 的图象上，则k的值为 .,6 如图，连接AC，交y轴于点D.四边形ABCO为菱形，ACOB，且CDAD，BDOD.菱形OABC的面积为12，CDO的面积为3.|k|6.反比例函数图象位于第二象限，k0，则k6.,失分警示由于没有考虑图象的位置而错解为k6.认真分析函数图象的性质：(1)图象在第一、三象限时，k0；(2)图象在第二、四象限时，k0.,变式运用2.2017盘锦中考如图，双曲线y (x0)经过ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且ACOC于点C，则OABC的面积是( )A. B. C3
6、 D6,C 点D为ABCD的对角线交点，双曲线y (x0)经过点D，ACy轴，S平行四边形ABCO4SCOD4 | |3.,类型3 反比例函数的应用,【例3】2017丽水中考丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时)根据经验，v，t的一组对应值如下表：(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式； (2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由； (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5t4，求平均速度v的取值范围,思
7、路分析：(1)根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v ，利用待定系数法求出k即可；(2)根据时间t2.5，求出速度，即可判断；(3)根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可,(1)根据表格中数据，可知v . v75时，t4， k754300. v关于t的函数表达式为v (2)107.52.5， 当t2.5时， v 120100. 汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场 (3)3.5t4，75v 故平均速度v的取值范围是75v,技法点拨解决此类问题，首先要分析出变量符合哪种常见函数，之后运用待定系数法求出函数解析式，最后根据解析式解决问题,类型4 反比例函数
8、的综合,2017淄博中考如图，在直角坐标系中，RtABC的直角边AC在x轴上，ACB90，AC1，反比例函数y (k0)的图象经过BC边的中点D(3,1) (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若ABC与EFG成中心对称，且EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上 求OF的长； 连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形,思路分析：(1)由D点坐标可求得k的值，进而求得反比例函数的表达式；(2)由中心对称的性质可知ABCEFG，由D点坐标可求得B点坐标，从而可求得BC和AC的长，由全等三角形的性质可求得GE和GF，即可求得E点坐标，从而可求得OF的长；由条件可证得AOFFGE，
9、则AFEFAB，且EFAFAB90，进而可证得四边形ABEF为正方形,技法点拨本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中求得E点坐标是解题的关键，在(2)中证得AOFFGE是解题的关键.,六年真题全练,命题点1 反比例函数的意义,12012滨州，14,4分下列函数：y2x1；y ；yx28x2；y ；y ；y 中，y是x的反比例函数的有 .(填序号）, y2x1是一次函数；y 是反比例函数，k5；yx28x2是二次函数；y 不是反比例函数；y 是反比例函数，k ；y 中，当a0，且a是常数时，
10、是反比例函数，但已知中a没有说明，所以不是反比例函数,猜押预测1.已知y(1a)xa22是反比例函数，则a .,猜押预测2.2017杭州三模下列问题情景中的两个变量成反比例的是( ) A汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度v B圆的周长l与圆的半径r C圆的面积s与圆的半径r D在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U,1 根据题意，得a221，解得a1.又1a0，即a1，a1.,A At (S是路程，定值)，t与v成反比例，故本选项符合题意；B.l2r，l与r成正比例，故本选项不符合题意；C.sr2，s与r2成正比例，故本选项不符合题意；D.I，电流强度I与电压U成正比例，故本选
11、项不符合题意,得分要领(1)掌握反比例函数的一般形式及其变形；(2)会根据实际情景写出对应函数解析式,命题点2 反比例函数的图象和性质,22014滨州，9,3分下列函数中，图象经过原点的是( ) Ay3x By12x Cy Dyx21,A A当x0时，y300，故此选项符合题意；B.当x0时，y1201，故此选项不符合题意；C.y 的图象是双曲线，不经过原点(0,0)，故此选项不符合题意；D.当x0时，y0211，故此选项不符合题意,32013滨州，6,3分若点A(1，y1)，B(2，y2)都在反比例函数y (k0)的图象上，则y1，y2的大小关系为( )Ay1y2 By1y2Cy1y2 Dy
12、1y2,C k0，图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小12，y1y2.,猜押预测3.2017德阳模拟对于反比例函数y ，下列说法：点(2，1)在它的图象上；它的图象在第一、三象限；当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小上述说法中，正确的序号是 .(填上所有你认为正确的序号), 当x2时，y1.点(2，1)在它的图象上，正确；又k20，正确，错误,猜押预测4.2017诸城三模函数yaxa与y (a0)在同一直角坐标系中的图象可能是( ),得分要领(1)熟记反比例函数的系数与图象位置的对应关系；(2)明确反比例函数的增减性要分象限讨论,D A由反比例函数图象，
13、得a0，则对应的一次函数yaxa图象经过第一、三、四象限，故A选项错误；B.由反比例函数图象，得a0，则对应的一次函数yaxa图象经过第一、三、四象限，故B选项错误；C.由反比例函数图象得a0，则对应的一次函数yaxa图象经过第一、二、四象限，故C选项错误；D.由反比例函数图象，得a0，则对应的一次函数yaxa图象经过第一、二、四象限，故D选项正确,命题点3 反比例函数的系数k的几何意义,42015滨州，12,4分如图，在x轴的上方，直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转若BOA的两边分别与函数y ，y 的图象交于B，A两点，则OAB大小的变化趋势为( )A逐渐变小 B逐渐变大C时大时小 D保持不
14、变,D 如图，过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，则AOCOBD.设点A坐标为(a， )，则AC ，OCa，SAOC a 1，同理可得SOBD ， 2， tanOAB ，OAB是定值,52016滨州，17,4分如图，已知点A，C在反比例函数y 的图象上，点B，D在反比例函数y 的图象上，ab0，ABCDx轴，AB，CD在x轴的两侧，AB ，CD ，AB与CD间的距离为6，则ab的值是 .,3 设点A，B的纵坐标为y1，点C，D的纵坐标为y2，则点A6，y14，y22.连接OA，OB，延长AB交y轴于点E，如图所示SOABSOAESOBE ab3.,62014滨州，17,4分如图，菱
15、形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y (x0)的图象经过点C，则k的值为 .,6 菱形的两条对角线的长分别是6和4，C(3,2)或(2,3)点C在反比例函数y 的图象上，2 ，解得k6.,猜押预测5.2017邢台模拟如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OBOD53，则k的值为( )A6 B12 C24 D36,B 设点D的坐标为(x，y)，由题意，得点B的坐标为 矩形OABC的面积 解得xy12，图象在第一象限，kxy12.,得分要领重点掌握反比例函数的系数k与对应的矩形或三角形的面积之间的关系,命题点4 反
16、比例函数综合题,72017滨州，12,3分在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧)，并分别与直线yx和双曲线y 相交于点A，B，且ACBC4，则OAB的面积为( ),A 如图，设点C的坐标为(m,0)，则A(m，m)，B ACm，BC ACBC4，m 4.解得m2,猜押预测6.2017夏津一模函数y1x(x0)，y2 (x0)的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点A的坐标为(2,2)；当x2时，y2y1；当x1时，BC3；当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小其中正确结论的序号是 ., 将y1x(x0)，y2 (x0)联立，得由于x0，解得 故
17、A点坐标为(2,2)；由图可知，当x2时，y1y2；当x1时，y11，y24，则BC413；当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小正确的结论为.,猜押预测7.2016商河二模如图，点P在双曲线y (x0)上，以P为圆心的P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PFPE交x轴于点F，若OFOE6，则k的值是 .,如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A，B.P与两坐标轴都相切，PAPB，四边形OAPB为正方形 APBEPF90，BPEAPF.RtBPERtAPF.BEAF.OFOE6，(OAAF)(BEOB)6，即2OA6.解得OA3.kOAPA339.,得分要领(1)掌握反比例函数的性质及系数k的几何意义；(2)会求反比例函数与一次函数或二次函数的交点；(3)熟悉常见图形的性质,
