1、反比例函数与一次函数的交点问题（答题时间：30 分钟） 来源:学优高考网1. 如图，反比例函数 y1= 和正比例函数 y2=k2x 的图象交于 A（1，3） 、B（1，3）两点，若k1xk 2x，则 x 的取值范围是（ ）k1xA. 1x0 B. 1x 1C. x 1 或 0x1 D. 1x0 或 x12. （沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数 y=x1 与函数 y= 的图象可能是（ ）xA. B. y x O y x O C. D. y x O y x O 3. 如图，直线 y=x+a2 与双曲线 y= 交于 A，B 两点，则当线段 AB 的长度取最小值时，a 的x4值为（ ）A. 0 B.
2、 1 C. 2 D. 54. 已知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 y2= kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当来源:学优高考网 gkstky1y 2 时，x 的取值范围是（ ）A. x1 或 0x3 B. 1x0 或 x3 C. 1x0 D. x35. 函数 y= 与 y=x2 图象交点的横坐标分别为 a，b，则 的值为 。6. 函数 l= （ 0） ， （ 0）的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点 A 的坐yxxy92标为（3，3）当 3 时， ，当 1 时，BC=8 ；当 逐渐增大时， l 随着 的增大1xyx而增大， 2 随着 的增大而减小。其中正确结论的序号是 。yx
3、7. 若关于 t 的不等式组 恰有三个整数解，则关于 x 的一次函数 y xa 的图象与反0,214ta 14比例函数 y 的图象的公共点的个数为_个。3ax8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴、 轴于 A、B 两点，与ykxbxy反比例函数 的图象交于 C、D 两点，DE 轴于点 E。已知 C 点的坐标是（6， ） ，myx 1DE=3。（1）求反比例函数与一次函数的解析式。（2）根据图象直接回答：当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?x9. 已知：如图，一次函数的图象与 y 轴交于点 C（0，3） ，且与反比例函数 y= 的图象在第一象2x限内交于 A、B 两
4、点，其中 A（1，a） ，求这个一次函数的解析式。10. （兰州）已知反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点 A（1，4）和点kxB（ m，2） ，（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得 y1y 2 成立的自变量 x 的取值范围；（3）如果点 C 与点 A 关于 x 轴对称，求ABC 的面积。11. 已知一次函数 （b 为常数）的图象与反比例函数 （ 为常数，且 ）1yx2kyx0k的图象相交于点 P（3，1） 。（1）求这两个函数的解析式；（2）当 3 时，试判断 与 的大小，并说明理由。x1y212. 如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别相交
5、于 A，B 两点，且与反比例函数 y 的图象8x在第二象限交于点 C，如果点 A 的坐标为（2，0） ，B 是 AC 的中点。（1）求点 C 的坐标；（2）求一次函数的解析式。13. 已知，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，OA=OB，函数 y= 的图象与线段 AB 交于 M 点，且 AM=BM。来源:gkstk.Com（1）求点 M 的坐标；（2）求直线 AB 的解析式。反比例函数与一次函数的交点问题1. C 解析：由图象可知，当 x=1 或 x=1 时， =k2x（两交点的意义） ，而 k 2x 即是反比例k1x k1x函数值大于一次函数
6、的值，只须找出双曲线在直线上面所对应的 x 的取值范围即可。由图象可知 x1 或 0x1 时， k 2x， 故选 C。k1x2. C 解析：由于本题 k0，针对一次函数和反比例函数可知图象所在象限，再依据一次函数的b 值，从而确定答案。因为 k=10 时，反比例函数图象经过一、三象限，又因为一次函数 b=1，所以一次函数图象经过一、三、四象限，故答案为 C。对于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确定 k，b 的符号，然后再根据 k 或 b 的符号判断另一函数图象是否与 k，b 的符号相符合。3. C 解析：要求 a 的值，必须知道 x、y 的值（即一点的坐标）由图形
7、的对称性可直观判断出直线 AB 过原点（ 0，0）时，线段 AB 才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出 a 的值。把原点（0，0）代入 中，得 。选 C。2yxa4. B 解析：根据图象知，一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 y2= kx的交点是（1，3） ， （3，1） ，当 y1y 2 时，1x0 或 x3；故选 B。5. 2 解析：两函数图象相交，则几个交点的横坐标值就是两函数表达式联立成方程组的解（自变量 x 值） 。来源:gkstk.Com函数 y= 与 y=x2 图象相交，1x，解得 2121xx， 。来源:学优高考网由于交点的横坐标分别为 a，b，ab= =1 ，a+b=
8、 =2。）（ 2）（。故填2。1ab6. 解析： 由 （ 0）解得 ，从而 。即两函数图象的交点 A 的坐标为9x3x=y（3，3） 。当 3 时， l= （ 0）的图象在 （ 0）的图象之上，所以 。xyxxy9212y当 1 时， l=1， ，所以 BC = 8。xy2921y当 逐渐增大时， l 随着 的增大而增大， 2 随着 的增大而减小。xx因此，正确结论的序号是。7. 0 或 1 解析：解不等式组得 at 3。原不等式组恰有三个整数解，即1，0，1，2a1。一次函数 y xa 的图象与反比例函数 y 的图象的交点坐1432ax标即是方程组 的解。消去方程组中的 y 得， 14xa
9、。即 x24ax4（3a2）,432yxa0。其判别式（4a） 216（3a2）16（a 23a2）16（a1） （a2） 。当2a1 时， （a1） （a2）0，即0。两个图象的公共点的个数为 0 或 1 个。8. 解析：（1）根据题意，可得出 A、B 两点的坐标，再将 A、B 两点的坐标代入 与ykxb，即可得出解析式。myx（2）求当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时， 的取值范围即可。x解：（1）点 C（6，1）在反比例函数 的图象上， =6，myx反比例函数的解析式为 。6yx点 D 在反比例函数 的图象上，且 DE=3， =2。x
10、点 D 的坐标为（2，3） 。C、D 两点在直线 上，ykxb ，解得 。6123kb12一次函数的解析式为 。yx（2）由图象，得当 x2 或 0x6 时，一次函数的值大于反比例函数的值。9. 解析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的关系式，解此类题的关键是求出直线上的另一个点 A 的坐标。利用点 A 在反比例函数图象上，求出 A 点的纵坐标，再把 A、C 的坐标代入y=kxb 中，列出二元一次方程组，求出 k、b 的值，一次函数的解析式可求。解：设一次函数的解析式为 y=kxb（k0） 。因为点 A 是直线与反比例函数 y= 的交点，故把 A（1，a）代入 y= ，得 a=2，所以 A
11、为2x2x（1，2） 。把 A（1，2）和 C（0， 3）代入 y=kxb，得，解得 k=1，b=3，所以一次函数的解析式为：y=x+3。3kb10. 解析：（1）先根据点 A 的坐标求出反比例函数的解析式为 y1= ，再求出 B 的坐标是4x（2，2） ，利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围 x2 或 0x1。（3）根据坐标与线段的转换可得出 AC、BD 的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案。解：（1）函数 y1= 的图象过点 A（1，4） ，即 4= ，kx1k
12、k=4，即 y1= ，4又点 B（m，2）在 y1= 上，xm= 2，B（2，2） ，又一次函数 y2=ax+b 过 A、B 两点，即 ，解之得 。y 2=2x+2。综上可得 y1= ，y 2=2x+2。4（2）要使 y1y 2，即函数 y1 的图象总在函数 y2 的图象上方，x2 或 0x 1。（3）如图，由图形及题意可得：AC=8， BD=3，ABC 的面积 SABC =ACBD=83=12。11. 解：（1）P（3，1）在一次函数 上，1yxb1=3b，b=2。一次函数的解析式为 。12yx同理，反比例函数的解析式为 。3（2） 。理由如下：当 时， ，12yx12y又当 时，一次函数
13、随 的增大而增大，反比例函数 随 的增大而减小，当 时3x1y 2yx3x。1212. 解析：（1）先根据点 A 的坐标为（2，0） ，B 是 AC 的中点，B 在 y 轴上，得出点 C 的横坐标为2，再将 x2 代入 y ，求出 y4，即可得到点 C 的坐标；8x（2）设一次函数的解析式 ykxb，将点 A、点 C 的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式。解：（1）点 A 的坐标为（2，0） ，B 是 AC 的中点，B 在 y 轴上，点 A 与点 C 的横坐标互为相反数，即点 C 的横坐标为 2。点 C 在反比例函数 y 的图象上，y 4，点 C 的坐标为（2，4）8x（2）设一
14、次函数的解析式为 ykxb。点 A（2，0） ，点 C（2， 4）在直线 ykxb 上， ,4kb解得 。12一次函数的解析式 。2yx13. 解析：（1）过点 M 作 MCx 轴，MDy 轴，根据 M 为 AB 的中点，MCOB ，MDOA，利用平行线分线段成比例得到点 C 和点 D 分别为 OA 与 OB 的中点，从而得到 MC=MD，设出点 M 的坐标代入反比例函数解析式中，求出 a 的值即可得到点 M 的坐标；（2）根据（1）中求出的点 M 的坐标得到 MC 与 MD 的长，从而求出 OA 与 OB 的长，得到点 A 与点 B 的坐标，设出一次函数的解析式，把点 A 与点 B 的坐标分
15、别代入解析式中求出 k 与 b的值，确定出直线 AB 的表达式。解：（1）过点 M 作 MCx 轴，MDy 轴，AM=BM，点 M 为 AB 的中点，MCx 轴，MD y 轴，MCOB ，MDOA，点 C 和点 D 分别为 OA 与 OB 的中点，MC=MD，则点 M 的坐标可以表示为（a，a） ，把 M（a，a）代入反比例函数解析式 y= 中，8x解得 a=2 ，则点 M 的坐标为（2 ，2 ） ；（2）则点 M 的坐标为（2 ，2 ） ，MC=2 ，MD=2 ，OA=OB=2MC=4 ，A（4 ，0） ，B（0，4 ） ，设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把点 A（4 ，0）和 B（0，4 ）分别代入一次函数解析式 y=kx+b 中得 ，解得： 。则直线 AB 的解析式为 y=x+4 。
