1、第二十八章 锐角三角函数直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以 转化为直角三角形 ，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要本章将学 习直角三角形中边与角之 间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境“汽车爬坡”引出如何描述坡面的 倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概念教材中通过学生熟悉的一副三角板引出对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角形中30的角所对的直角 边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到
2、这些特殊角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值第二节主要是 应用直角三角形知识解决一些简单的实际问题带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、 说理过程的严谨性， 养成科学认真的学习态度 让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数 让学生掌握 30，45，60等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学 习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态 度本章教学约需5课时，具体分配如下：281 锐角三角函数3课时282 解直角三角形及其应用2课时281 锐
3、角三角函数第1课时 锐角三角函数知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比过程与方法通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用情感、态度与价值观1通过学习培养学生的合作意识2通过探究提高学生学习数学的兴趣重点锐角三角函数的概念难点锐角三角函数概念的理解一、问题引入问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度 (演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了你想知道小明是怎样算出的吗？师
4、：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法下面我们一起来学习锐角三角函数二、新课教授问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30 ，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为在RtABC中，C90 ，A30，BC 35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一
5、半”，即 ，A的 对 边斜 边 BCAB 12可得AB2BC 70 m，即需要准 备70 m长的水管思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？学生按与上面相似的过程，自主解决结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .12思考2：如图，任意画一个RtABC，使C90 ，A45，计算A 的对边与斜边的比 ，能BCAB得到什么结论？分析：在RtABC中，C90 ，由于A45，所以Rt ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2AC 2BC 22BC 2，AB BC，2 .BCAB BC2BC 12
6、 22结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .22从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt ABC中，C90，当A30 时，A 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值当A45时，A的对边 与斜边的比都等于 ，也是一个固定12 22值 这就引 发我们产生这样一个疑 问：当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？探究：任意画RtABC和RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么BCAB BCAB关系？你能解释一下吗？分析：由于CC90，AA，所以Rt ABCRtABC，则 .BCAB BCAB结论：在
7、直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A的对边与斜边的比都是一个固定值正弦的概念：在Rt ABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 A的正弦，记作sin A，即sinA .A的 对 边斜 边 ac例如，当A30时，sinAsin30 ；12当A45时，sinAsin45 .22注意：1sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体2正弦的三种表示方式：sinA，sin56 ，sinDEF.3sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位提问：B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？sinB .B的 对 边斜 边 bc思考3：一般地
8、，当A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边 的比是否也是一个固定值？探究：如图，在RtABC与RtABC中，CC90，AA，那么 与 有什么ACAB ACAB关系？教师用类比的方法引导学生思考、 讨论结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，A的邻边与斜边的比是一个固定值余弦的概念：在Rt ABC中，C90，把锐角A的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cosA ，即cosA .A的 邻 边斜 边 bc思考4：当A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定 值？学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念正切的概念：如图，在RtABC中，C90 ，a ，b分别是
9、A的对边和邻边 我们把A的对边与邻边的比叫做 A的正切，记作tanA，即tanA .A的 对 边A的 邻 边 ab锐角A的正弦、余弦、正切都叫做 A的锐角三角函数三、举例应用，巩固新知例1 如图，在RtABC中，C90 ，求sinA和sinB的值解：如图(1)，在Rt ABC中，由勾股定理得AB 5.AC 2 BC2 42 32因此sinA ，BCAB 35sinB .ACAB 45如图(2)，在Rt ABC中，由勾股定理得AC 12.AB2 BC 2 132 52因此sinA ，BCAB 513sinB .ACAB 1213例2 如图，在RtABC中，C90 ，AB10，BC6，求 sinA
10、，cosA，tan A的值解：由勾股定理得AC 8，AB2 BC 2 102 62因此 sinA ，BCAB 610 35cosA ，ACAB 810 45tanA .BCAC 68 34四、练习新知为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角的正切值是( )A. B4 C. D.117 14 417答案 C五、课堂小结锐角三角函数概念及表示方法：sinA ，cosA ，A的 对 边斜 边 A的 邻 边斜 边tanA .A的 对 边A的 邻 边本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找
11、边角、 计算各个方面 进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与第2课时 30，45，60角的三角函数值知识与技能熟记30，45，60角的三角函数 值，并能根据这些值说出对应的锐角度数过程与方法1培养学生把实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、分析、概括的能力情感、态度与价值观经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理 过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度重点3
12、0，45，60角的三角函数值 难点与特殊角的三角函数值有关的计算一、复习巩固如图，在RtABC中，C90.(1)a，b，c三者之间的关系是_；(2)sinA _，cosA _，tanA_；sinB_，cosB_，tanB_(3)若A30，则 _ac二、共同探究，获取新知(1)探索30，45，60角的三角函数值师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30，60 ，45，45.师：sin30等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流生：sin30 .sin30表示在直角三角形中，30 角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无12关我们 不妨设30
13、角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜 边长等于2a. 根据勾股定理，可知30角的邻边长为 a，所以sin30 .3a2a 12师：cos30等于多少？ tan30呢？生：cos30 .tan30 .3a2a 32 a3a 13 33师：我们求出了30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45， 60，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60角的三角函数值可以利用求30 角的三角函数值的三角形因为30角的对边和邻边分别是60 角的邻边和对边，利用上 图，很容易求得sin 60 ，cos60 ，tan60 3a2a 32 a2a 12
14、 3aa.3师生共同分析：我们一起来求45角的三角函数值含45 角的直角三角形是等腰直角三角形如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为 a.由此可求得2sin45 ，cos45 ，a2a 12 22 a2a 12 22tan45 1.aa教师多媒体课件出示：三角函数角度 sin cos tan3012 32 334522 22 16032 12 3师：这个表格中的30，45，60 角的三角函数值需要熟记另一方面，要能够根据30，45，60 角的三角函数值说出相应的锐角的大小第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大第二列，余弦值随角度的增大而减小师：第三列呢？生：第三列是30，4
15、5，60角的正切 值，首先45 角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45 1比较特殊随着角度的增大，正切值也在增大(2)进一步探究锐角的三角函数值如图，在RtABC中，C90.sinA ，cosA ，ac bcsinB ，cosB ，bc acsinAcos B，cosAsinB.AB 90 ，B90 A，即sinAcosBcos(90A) ，cosAsinBsin(90A)任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值三、例题讲解，巩固新知例1 计算：(1)sin30cos 45；(2)sin260cos 260tan45.解：(1)sin30 cos45 ；12 22 1 2
16、2(2)sin260cos 260tan45( )2 ( )2132 12 134 140.例2 (1)如图(1)，在RtABC 中 ，C90，AB ，BC ，求A 的度数；6 3(2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO OB，求的度数3解：(1)在图(1)中，sinA ，BCAB 36 22A45.(2)在图(2)中，tan ，AOOB 3OBOB 360.四、随堂练习1计算4sin603tan30的值为( )A. B2 C3 D03 3 3答案 A2计算sin 245cos 245的值为( )A2 B1 C0 D3答案 B五、课堂小结1探索30，45，60角的三角函数 值si
17、n30 ，sin45 ，sin 60 ；12 22 32cos30 ，cos45 ，cos60 ；32 22 12tan30 ，tan451，tan60 .33 32能进行含30，45，60角的三角函数 值的计算3能根据30，45，60角的三角函数 值说出相应锐角的大小本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐 的学习环境和氛围；课件制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生第3课时 一般锐角的三角函数值知识与技能1
18、会使用计算器求锐角的三角函数值2会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角过程与方法在做题、计算的过程中，逐步熟悉 计算器的使用方法情感、态度与价值观经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序重点利用计算器求锐角三角函数的值难点计算器的按键顺序一、复习回顾教师多媒体课件出示：1.三角函数角度 sin cos tan3045602.已知2sin (90) 0，求锐角的度数3二、讲解新知师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin18的 值生：作一个有一个锐角为18的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值学生作图、测量、计算生：约等
19、于0.309 016 994.师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大经过许多数学家不断的改 进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用今天 ，三角函数表又被带有 、 和 功能键的sincos tan计算器所取代教师拿出计算器师：我们学习这种计算器的使用方法 请同学们拿出自己的计算器学生拿出自己的计算器师：先按 键，再按有关三角函数的键ON教师板书：1求已知锐角的三角函数值例1 求sin 40的值(精确到0.000 1)师：比如我们求sin40的值，依次按 、 、 、 、 这几个键sin4
20、 0 师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？生：0.642 8.例2 求cos5438的值(精确到 0.000 1)师：我们依次按 、 、 、 、 、 、 、 这几个键cos 5 4 3 8 学生操作后回答2由锐角三角函数值求锐角例3 已知sin A0.508 6，求锐角A.师：你有没有注意到计算器上有个 键？2ndf生：注意到了师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用我们依次按 、2ndf、 、 、 、 、 、 .sin 1 0 5 0 8师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键 和度分
21、秒键2ndf. 学生操作后回答结果三、巩固提高1sin0.231 6，cos 0.231 6，则锐角与锐角 之间的关系是( )A B180C90 D90答案 C2使用计算器计算：sin5218_ (精确到0.001)答案 0.7913已知cos 0.741 6，利用计算器求出的值约为_ (精确到1)答案 42四、课堂小结1用计算器求一个锐角的三角函数值2学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的sin18的值让学生计算在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显示了其较强的计算能力
