1、第二十四章 圆241 圆的有关性质241.1 圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义活动1 创设情境，引出课题1多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体2提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？活动2 动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决定？教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定1从以上圆的形成过程
2、，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点 O叫做圆心，线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”2小组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？3小组代表发言，教师点评总结，形成新概念(1)圆上各点到定点( 圆心O)的距离都等于定 长( 半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图
3、形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上)活动3 学以致用，巩固概念1教材第81页 练习第1题2教材第80页 例1.多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O的距离相等活动4 自学教材，辨析概念1自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆(2)圆上任意两点间的线段叫做弧(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍(4)长度相等的两条弧是等弧(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧 ，等弧必须是在同圆或等圆中的弧)(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧2指出图
4、中所有的弦和弧活动5 达标检测，反馈新知教材第81页 练习第2，3题活动6 课堂小结，作业布置课堂小结1圆、弦、弧、等圆、等弧的概念要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系等圆和等弧的概念是建立在 “能够 完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据2证明几点在同一圆上的方法3集合思想作业布置1以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆2如图，在RtABC和RtABD中，C90，D90 ，点O 是AB的中点求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上答案：1.略；2.证明OAOBOCOD即可241.2 垂直于弦的直径理解垂径定理并灵活运用垂径
5、定理及圆的概念解决一些实际问题通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解重点垂径定理及其运用难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题一、复习引入在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AAC C”或“ 弧AC”大于半圆的弧 (如图所示 )叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示 或 )叫
6、做劣ABC AC BC 弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半 圆圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线二、探索新知(学生活动) 请同学按要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为 M.(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.(2)AM BM， ， ，即直径CD 平分弦AB，并且平分 及 .AC BC AD BD AB ADB 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：
7、直径CD、弦AB ，且CDAB垂足为M.求证：AMBM， ， .AC BC AD BD 分析：要证AMBM，只要证AM ，BM 构成的两个三角形全等因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可证明：如图，连接OA，OB，则 OAOB，在Rt OAM和RtOBM中，RtOAMRtOBM，AMBM ，点A和点 B关于CD对称，O关于直径CD对称，当圆沿着直 线 CD对折时，点A与点B 重合， 与 重合， 与 重合AC BC AD BD ， .AC BC AD BD 进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(本题的证明作为课后练习)例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧
8、形，如图所示，正常水位下水面宽AB60 m，水面到拱顶距离CD18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由分析：要求当洪水到来时，水面宽MN32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施，设OAR，在RtAOC中，AC30，CD18，R230 2(R18) 2，R2900R 236R 324，解得R34(m) ，连接OM，设DEx，在RtMOE中，ME16，34216 2(34x) 2，16234 268xx 234 2，x 268x2560，解得x 14，x 264(不合题意，舍去)，DE4，
9、不需采取紧急措施三、课堂小结(学生归纳，老师点评)垂径定理及其推论以及它们的应用四、作业布置1垂径定理推论的证明2教材第89，90页 习题第8，9，10题241.3 弧、弦、圆心角1理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角2掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之 间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算重点圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用难点从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系活动1 动手操作，得出性质及概念1在两张透明纸片上，分别作半径相等的O和O.2将O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3在O中画出两条不在同一条直线上的
10、半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念如图，AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角4判断图中的角是否是圆心角，说明理由活动2 继续操作，探索定理及推论1在O中，作与圆心角AOB相等的圆心角AOB，连接AB，AB，将两张纸片叠在一起，使O与O 重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度 ，使得OA与OA重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流2学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？4综合2，3，我们可以得到关于圆
11、心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 请用符号语言把定理表示出来5分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？6定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等活动3 学以致用，巩固定理1教材第84页 例3.多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证
12、明所对的弧或弦相等鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想活动4 达标检测，反馈新知教材第85页 练习第1，2题活动5 课堂小结，作业布置课堂小结1圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用3数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想作业布置1如果两个圆心角相等，那么( )A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对2如图，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE3，求弦CE的长3如
13、图，在O中，C，D是直径AB上两点，且ACBD， MCAB，NDAB，M，N 在O上(1)求证： ；AM BN (2)若C，D 分别为OA，OB中点，则 成立吗？AM MN BN 答案：1.D；2.3；3.(1)连接OM，ON，证明MCO NDO ，得出MOA NOB，得出 ；(AM BN 2)成立24.1.4 圆周角(2课时)第1课时 圆周角的概念和圆周角定理1理解圆周角的概念，会识别圆周角2掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算重点圆周角的概念和圆周角定理难点用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定活动1 复习类比，引入概念1用几何画板显示圆心角2教师将圆心角的顶点进
14、行移动，如图1.(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如AOB.(2)当角的顶点运动到圆周时，如ACB这样的角叫什么角呢？学生会马上猜出：圆周角教师给 予鼓励，引出课题3总结圆周角概念(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义估 计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：顶点在圆周上；角的两边都与圆相交最后让 学生再给圆周角下一个准确的定 义：顶点在圆周上， 两边都与圆相交的角叫圆周角(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到
15、“两边都与圆相交”呢？学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件活动2 观察猜想，寻找规律1教师出示同一条弧所对圆周角为90，圆心角为180 和同一条弧所对圆周角为45 ，圆心角为90的特殊情况的图形提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系由于情况特殊，学生观察、测量后， 容易得出：对着同一条弧的圆 周角是圆心角的一半2教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
16、一半活动3 动手画图，证明定理1猜想是否正确，还有待证明教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求 证2先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？3利用实物投影在全班交流，得到三种情况若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况4引导学生选一种最特殊、最容易 证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评5引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周
17、角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆 周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示然后小组交流讨论，上台展示 证明过程，教师点评证 明过程6将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”活动4 达标检测，反馈新知1教材第88页 练习第1题2如图，BAC和BOC 分别是O中的弧BC 所对的圆周角和圆心角，若BAC 60 ，那么BOC_.3如图，AB，AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD AB ，如果ADB30，那么BOC_.答案：1.略；2.120；3.120.活动5 课堂小结，作业布置课堂小结1圆周角概念及定理2类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想作业布置教材第88页 练
18、习第4题，教材第89页 习题第5题第2课时 圆周角定理推论和圆内接多边形1能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明2知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆3能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题重点圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用难点圆内接四边形性质定理的准确、灵活 应用以及如何添加辅助线活动1 温习旧知1圆周角定理的内容是什么？2如图，若 的度数为100， 则BOC_，A _.BC 3如图，四边形ABCD 中， B与1互补，AD的延长线与DC所夹的260，则1_， B_.4判断正误：(1)
19、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半( )答案：1.略；2.100，50；3.120 ，60 ；4.略活动2 探索圆周角定理的“推论”1请同学们在练习本上画一个O.想一想，以A，C为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个然后教师引导学生：观 察下图，ABC，ADC ，AEC 的大小关系如何？为什么？让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？2教师引导学生观察下图，BC是O的直径请问：BC所对的圆周角BAC是锐角、直角还是钝角？让学生交流、讨论，得出结论： BAC是直角教师追问理由3如图，若圆周角BAC9
20、0 ，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？4师生共同解决教材第87页例4.活动3 探索圆内接四边形的性质1教师给学生介绍以下基本概念：圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆2要求学生画一画，想一想：在O上任作它的一个内接四边形ABCD，A是圆周角吗？ B，C ，D 呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？3先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补4课件展示练习：(1)如图，四边形ABCD 内接于O，则AC _，B ADC_；若B80 ，则ADC_，CDE_；(2)如图，四边形ABCD 内接于O，
21、AOC100 ，则D_，B_；(3)四边形ABCD内接于O，A C13，则A_ ；(4)如图，梯形ABCD内接于O，AD BC，B75，则C _.(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？答案：(1)180，180，100，80 ；(2)130，50；(3)45 ；(4)75；(5)都有活动4 巩固练习1教材第88页 练习第5题2圆的内接梯形一定是_梯形3若ABCD为圆 内接四边形， 则下列哪个选项可能成立( )A ABCD1234B ABCD2134C ABCD3214DA BCD4321答案：1.略；2.等腰；3.B.活动5 课堂小结与作业布置课堂小结本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算作业布置教材第8991页 习题第5，6，13，14，17题
