1、11 探索勾股定理第 1 课时 认识勾股定理来源:gkstk.Com1探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力；2理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系(重点、难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？来源:学优高考网 gkstk二、合作探究探究点一：勾股定理的初步认识【类型一】 直接利用勾股定理求长度如图，已知在ABC 中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于点 D，求 CD 的长解析：先运用勾股定理求出 AC
2、的长，再根据 SABC ABCD ACBC，求出 CD12 12的长来源:学优高考网解：ABC 是直角三角形，ACB90，AB5cm，BC3cm，由勾股定理得AC2AB 2BC 25 23 24 2，AC4cm.又S ABC ABCD ACBC，CD12 12 (cm)，故 CD 的长是ACBCAB 435 125cm.125方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式” ，它常与勾股定理联合使用【类型二】 勾股定理与其他几何知识的综合运用来源:学优高考网 gkstk如图，已知 AD 是ABC 的中线求证：AB 2AC 22(AD 2
3、CD 2)解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作 AEBC 于点 E，在ABC 中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明证明：如图，过点 A 作 AEBC 于点 E.在 RtACE、RtABE 和 RtADE 中，AB2AE 2BE 2，AC 2AE 2CE 2，AE 2AD 2ED2，AB 2AC 2(AE 2BE 2)(AE 2CE 2)2(AD 2ED 2)(DBDE) 2(DCDE)22AD 22ED 2DB 22DBDEDE 2DC 22DCDEDE 22AD 2DB 2DC 22DE(DCDB)又AD 是ABC 的中线，BDCD，AB 2AC 22AD 22DC 22(AD 2C
4、D 2)方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题【类型三】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在ABC 中，AB20，AC15，AD 为 BC 边上的高，且AD12，求ABC 的周长解析：应考虑高 AD 在ABC 内和ABC外的两种情形解：当高 AD 在ABC 内部时，如图.在 RtABD 中，由勾股定理，得BD2AB 2AD 220 212 216 2，BD16；在 RtACD 中，由勾股定理，得CD2AC 2AD 215 212 281，CD9.BCBDCD25，ABC 的周长为25201560.当高 AD
5、在ABC 外部时，如图.同理可得BD16，CD9.BCBDCD7，ABC 的周长为 7201542.综上所述，ABC 的周长为 42 或 60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高 AD 在ABC 内的情形，忽视高 AD 在ABC 外的情形探究点二：利用勾股定理求面积如图，以 RtABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，则图中ABE 的面积为_，阴影部分的面积为_解析：因为 AEBE，所以 SABE AEBE AE2.又因为 AE2BE 2AB 2，12 12所以 2AE2AB 2，所以 SABE AB2 3214
6、14；同理可得 SAHC94SBCF AC2 BC2.又因为14 14AC2BC 2AB 2，所以阴影部分的面积为AB2 AB2 AB2 32 .故填 、 .14 14 12 12 92 94 92方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系来源:学优高考网三、板书设计勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用 a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2b 2c 2.让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激励学生发奋学习
