1、 第一章 集合与常用逻辑用语深研高考备考导航 $来& 源：为教师授课、学生学习提供丰富备考资源五年考情考点 2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年集合的概念及其运算全国卷T1全国卷T1全国卷T1全国卷T1全国卷 T1全国卷 T1全国卷 T1全国卷 T1全国卷T1四种命题及其关系，充分条件与必要条件全国卷 T3含逻辑联结词的命题的真假判断，全称命题、特称命题的否定全国卷 T5重点关注综合近 5 年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在 5 分左右，题目注重基础，属容易题2从考查知识
2、点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题3从命题思路看：(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等) 相结合考查(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查(4)通过对近 5 年全国卷高考试题分析，可以预测，在 2018 年，本章内容考查的重点是：集合的关系及其基本运算；全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；充分条件，必要条件的判断导学心语根据近 5 年的全国卷高考命题特点和规律，复习本
3、章时，要注意以下几个方面：1全面系统复习，深刻理解知识本质(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义2熟练掌握解决以下问题的方法和规律(1)子集的个数及判定问题(2)集合的运算问题(3)充分条件、必要条件的判断问题(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题(5)特称命题、全称命题的否定问题3重视数学思想方法的应用(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用 Venn 图或数轴更直观
4、地求解(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假第一节 集 合考纲传真 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1) 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集
5、合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法2集合间的基本关系(1)子集：若对x A，都有 xB，则 AB 或 BA.(2)真子集：若 AB，但 xB，且 xA，则 AB 或 BA.(3)相等：若 AB，且 BA，则 AB.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的基本运算并集 交集 补集图形表示符号表示 AB AB UA意义 x|xA 或 xB x|xA 且 xB x|xU 且 xA4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，真子集有 2n1 个(2)子集的传递性：A
6、B， BCAC .(3)ABA BAABB.(4)U(AB ) (UA)( UB)， U(AB)( UA)( UB)1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)任何集合都有两个子集( )(2)已知集合 Ax |yx 2，By|yx 2，C( x，y )|yx 2，则ABC .( )(3)若x 2,10,1，则 x 0,1.( )(4)若 ABAC，则 BC .( )解析 (1)错误空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的(2)错误集合 A 是函数 yx 2 的定义域，即 A(，)；集合 B 是函数 yx 2 的值域，即 B0 ，)；集合 C 是抛物线 yx 2
7、 上的点集因此A，B，C 不相等(3)错误当 x1 时，不满足互异性(4)错误当 A时，B， C 可为任意集合答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 若集合 A xN|x ，a2 ，则下列结论正确的是10 2( )Aa A BaA Ca A DaAD 由题意知 A0,1,2,3，由 a2 ，知 aA.23(2016全国卷 )设集合 A1,3,5,7，Bx|2x5，则 AB ( )A1,3 B3,5C5,7 D1,7B 集合 A 与集合 B 的公共元素有 3,5，故 AB3,5，故选 B.4(2016全国卷 )设集合 A0,2,4,6,8,10 ，B4,8，则 AB( )A4,8 B
8、0,2,6C0,2,6,10 D0,2,4,6,8,C 集合 A0,2,4,6,8,10，B 4,8， AB0,2,6,105已知集合 A(x，y )|x，y R ，且 x2y 21， B(x，y)|x，y R，且yx，则 A B 的元素个数为 _2 集合 A 表示圆心在原点的单位圆上的点，集合 B 表示直线 yx 上的点，易知直线 y x 和圆 x2y 21 相交，且有 2 个交点，故 AB 中有 2 个元素集合的基本概念(1)已知集合 A0,1,2，则集合 B xy |xA，yA 中元素的个数是( )A1 B3 C5 D9(2)若集合 Ax R| ax23x20中只有一个元素，则 a( )
9、A B 92 98C0 D0 或98(1)C (2)D (1)当 x0，y0,1,2 时，x y0， 1，2；当 x1，y0,1,2 时，xy1,0，1；当 x2，y0,1,2 时，xy2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为2， 1,0,1,2，共 5 个(2)若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23x20 只有一个实根或有两个相等实根当 a0 时，x ，符合题意；23当 a0 时，由 (3) 28a0 得 a ，98所以 a 的取值为 0 或 .98规律方法 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集
10、合的元素是否满足互异性，如题(1)2由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)变式训练 1 已知集合 AxR| ax23x20，若 A，则实数 a 的取值范围为_. A，方程 ax23x 20 无实根，( ， 98)当 a0 时，x 不合题意 ；23当 a0 时，98a0，a .98集合间的基本关系(1)已知集合 Ax|y ，x R，B x|xm 2，mA，则( )1 x2AA B BB ACAB DBA(2)已知集合 Ax |2x7，Bx| m1x 2m1 ，若 BA，则实数 m 的取值范围是_(1)B (2)(，4 (1)易知 Ax|1x1，所以 B x|xm 2，mA x|
11、0x1，因此 BA.(2)当 B时，有 m12m1，则 m2.当 B时，若 BA ，如图则Error!解得 2m4.综上，m 的取值范围为 m4.规律方法 1.BA，应分 B和 B两种情况讨论2已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解变式训练 2 (1)(2017长沙雅礼中学质检)若集合 Ax|x0，且 BA ，则集合 B 可能是( )A1,2 B x|x1C1,0,1 DR(2)(2017湖南师大附中模拟 )已知集合 A x| ，xR，x x2 2B1，m，若 A
12、B，则 m 的值为( ) A2 B1C 1 或 2 D2 或 2(1)A (2)A (1)因为 Ax|x0，且 BA，再根据选项 A，B，C，D 可知选项 A 正确(2)由 ，得 x2，则 A2x x2 2因为 B1 ，m，且 A B，所以 m2.集合的基本运算角度 1 求集合的交集或并集(1)(2015全国卷 )已知集合 A x|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合 AB 中元素的个数为( )A5 B4 C3 D 2(2)(2017郑州调研)设集合 Mx| x2x ，Nx|lg x0，则 MN( )A0,1 B(0,1C0,1) D(，1(1)D (2)A (1)集合 A 中元
13、素满足 x3n2，n N，即被 3 除余 2，而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14.共 2 个元素(2)Mx|x 2x 0,1 ， Nx|lg x0 x|00 ，B x|11 5(2017衡水模拟 )已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 A2,3,5,6，集合 B 1,3,4,6,7，则集合 A UB( )A2,5 B3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8A 由题意得 UB2,5,8，$来&源：A UB2,3,5,62,5,82,5 6若 xA，则 A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M1x的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) 1，0，12，2，3A1
14、 B3 C7 D31B 具有伙伴关系的元素组是1，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个：121， ， .12，2 1，12，27已知全集 UR，Ax|x0，B x|x1，则集合 U(AB)( )Ax|x0 B x|x1Cx|0x1 Dx|0x1D Ax|x0，B x|x1，ABx| x0 或 x1，在数轴上表示如图， U(AB) x|0x1 二、填空题8已知 A0 ，m,2，B x|x44x 20 ，若 AB ，则 m_.2 由题知 B0，2,2，A0 ，m,2，若 AB ，则 m2.9(2016天津高考 )已知集合 A1,2,3,4，By|y3x 2，xA，则AB_.1,4 因为集合 B 中
15、，xA，所以当 x1 时，y321；当 x2 时， y322 4；当 x3 时， y332 7；当 x4 时， y342 10.即 B1,4,7,10 又因为 A1,2,3,4 ，所以 AB1,410集合 A x|x0，B x|ylgx (x1)，若 ABx|x A，且 xB，则 A B_.1,0) 由 x(x1)0，得 x1 或 x0，B(， 1)(0，)，AB1,0)B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016全国卷 改编)设集合 Sx|(x2)( x3)0，T x|x0，则(RS) T( )A2,3 B(，23，)C(2,3) D(0，)C 易知 S( ，2 3，)， RS(2,
16、3)( RS)T(2,3)2(2017郑州调研 )设全集 UR，A x|x22x 0，B y|ycos x，xR ，则图 112 中阴影部分表示的区间是( )图 112A0,1B(，12 ，)C1,2D( ，1) (2， )D Ax|x 22x0 0,2，By|ycos x，x R 1,1图中阴影部分表示 U(AB)(，1)(2，)3已知集合 A x|42 x16，Ba，b，若 AB，则实数 ab 的取值范围是_. (， 2 由 42 x16，得 2x4，则 A2,4，又 Ba，b，且AB.a2，b4，故 ab242.因此 ab 的取值范围是(，24设集合 A x|x2x60，B x|xa0 若存在实数 a，使得AB x|0 x3，则 AB_.x|x2 Ax |2x3，Bx| xa 如图，由 AB x|0x3，得a0，A B x|x2
