1、专题能力训练 5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ( )A.f(x)=-x|x| B.f(x)=xsin xC.f(x)= D.f(x)=1 122.已知 a=21.2,b= ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( )(12)-0.8A.c1,A.- B.-74 54C.- D.-34 146.(2018 全国 ,理 11)已知 f(x)是定义域为(- ,+)内的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( )A.-50 B.0 C.2 D.507.已知
2、ab1,若 logab+logba= ,ab=ba,则 a= ,b= . 528.若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a= . +29.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ,且在区间0,+)内单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(lo a)122f(1),则 a 的取值范围是 . 10.设奇函数 y=f(x)(xR),满足对任意 tR 都有 f(t)=f(1-t),且当 x 时,f(x) =-x2,则 f(3)+f 的0,12 (-32)值等于 .11.设函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= . (+1)2+2+112.若不等式 3x2-
3、logax0 时,f(x)= 若 f(-5)4,2+2+3,0f(- ),则 a 的2取值范围是 . 17.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间-1,1 上 ,f(x)= 其中 a,bR.若 f+1,-11,(12)-0.8又 c=2log52=log540,排除 A,B;当 x= 时,y=- +22.排除 C.故选 D.12 (12)4+(12)24.D 解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=1,于是-1f(x- 2)1 等价于 f(1)f(x- 2)f(-1) .又 f(x)在区间(-,+) 单调递减,所以- 1x-21,即 1x3.所以 x 的取
4、值范围是1,3.5.A 解析 f(a)=-3, 当 a1 时,f(a)=2 a-1-2=-3,即 2a-1=-1,此等式显然不成立.当 a1 时,f(a) =-log2(a+1)=-3,即 a+1=23,解得 a=7. f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2= -2=-14 74.6.C 解析 f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期为 4. f(x)为 R 上的奇函数, f(0)=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0), f(1)+f(2)
5、+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.4 2 解析 设 logba=t,由 ab1,知 t1.由题意,得 t+ ,解得 t=2,则 a=b2.1=52由 ab=ba,得 b2b= ,即得 2b=b2,即 b=2,2 a=4.8.1 解析 f(x)是偶函数, f(-1)=f(1).又 f(-1)=-ln(-1+ )=ln ,f(1)=ln(1+ ),+1+1+1 +1因此 ln( +1)-ln a=ln( +1),+1 +1于是 ln a=0, a=1.9 解析 由题意知 a0,又 lo a=log2a-1=-log2a1
6、2,2 12 f(x)是 R 上的偶函数, f(log2a)=f(-log2a)=f(lo a).12 f(log2a)+f(lo a)2f(1),12 2f(log2a)2f(1), 即 f(log2a) f(1).又 f(x)在0,+)上单调递增, |log2a|1,-1 log 2a1, a12,2.10.- 解析 根据对任意 tR 都有 f(t)=f(1-t)可得 f(-t)=f(1+t),即 f(t+1)=-f(t),进而得到 f(t+2)=-f(t+1)14=-f(t)=f(t),得函数 y=f(x)的一个周期为 2,则 f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f =f
7、=- ,所以 f(3)+f(-32) (12) 14=0+ =-(-32) (-14) 14.11.2 解析 f(x)= =1+ ,(+1)2+2+1 2+2+1设 g(x)= ,则 g(-x)=-g(x),2+2+1故 g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0,则 M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解 由题意知 3x21,函数 y=logax 的图象显然在函数 y=3x2 图象的下方,所以(0,13)不成立;当 00,cos 6x0,则此时 y0,故选 D.14.B 解析 因为 f(x)是定义在
8、R 上的偶函数,所以 f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式 f(-5)f(- ).(12,32) 2可化为 f(2|a-1|)f( ),则 2|a-1|0,(1+ 12) g(x)在 R 上单调递增,具有 M 性质;对 ,设 g(x)=ex3-x,则 g(x)=ex(3-+3- 13)=ex3-x 0, g(x)0, g(x)在 R 上单调递增,具有 M 性质.故填 .19.解 (1) f(x)=ex- ,且 y=ex 是增函数,(1)y=- 是增函数 , f(x)是增函数.(1) f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), f(x)是奇函数.(2)由(1)知 f(x)是增函数且为奇函数. f(x-t)+f(x2-t2)0 对 xR 恒成立 , f(x-t)f( t2-x2), t2-x2x-t, x2+xt 2+t 对 xR 恒成立.又 对一切 xR 恒成立,(+12)2(+12)20, t=-(+12)2 12.即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 x 都成立.12
