1、86 分项练 4 平面向量与数学文化1(2018贵阳模拟)如图，在 ABC 中，BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若a， b ，则 等于( )AB AC AO A. a b12 12B. a b12 14C. a b14 12D. a b14 14答案 B解析 在ABC 中，BE 是 AC 边上的中线， ，AE 12AC O 是 BE 边的中点， ( )，AO 12AB AE ，AO 12AB 14AC a， b，AB AC a b.AO 12 142(2018上饶模拟)设 D，E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 BC2，则 等于( )AD AE A.
2、B. C. D.49 89 269 263答案 C解析 如图，| | |2， ， 60，AB AC AB AC D，E 是边 BC 的两个三等分点， AD AE (AB 13BC )(AC 13CB ) (23AB 13AC )(13AB 23AC ) | |2 | |229AB 59AB AC 29AC 4 22 4 .29 59 12 29 2693(2018昆明模拟)程大位 算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩
3、子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A65 B176 C183 D184答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列a n，其中d17，n8，S 8996.由等差数列前 n 项和公式可得 8a1 17996，872解得 a165.由等差数列通项公式得 a865(81) 17184.4八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH，其中 OA 1，则给出下列结论： 0； ；HD BF OA OD 22 ；| | .OB OH 2OE AH FH 2 2其中正确结论的个数为(
4、)A4 B3 C2 D1答案 B解析 正八边形 ABCDEFGH 中，HDBF， 0，故正确；HD BF 11cos ，故正确；OA OD 34 22 ，故正确；OB OH 2OA 2OE | | | |，AH FH AF OF OA 则| |2 11211cos 2 ，AF 34 2| | ，故错误AF 2 2综上，正确的结论为，故选 B.5(2018聊城模拟)在ABC 中，BC 边上的中线 AD 的长为 2，点 P 是ABC 所在平面上的任意一点，则 的最小值为( )PA PB PA PC A1 B2 C2 D1答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点 D 在原点处，点 A 在
5、y 轴上，则 A(0,2)设点 P 的坐标为(x，y) ，则 ， (x，y )，PA ( x，2 y) PO 故 2 2PA PB PA PC PA (PB PC ) PA PO (x2 y2 2y)2 22，当且仅当 x0，y1 时等号成立x2 (y 1)2所以 的最小值为 2.PA PB PA PC 6(2018石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图” ，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为 1 )围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机3取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是
6、( )A. B.32 34C1 D132 34答案 C解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为 k， k(k0)，3则大正方形的边长为 2k，小正方形的边长为( 1)k，3所以大正方形的面积为 4k2，小正方形的面积为( 1) 2k2，3故所求概率为 1 . 3 12k24k2 327(2018南平质检)我国古代著名的数学著作有 周髀算经 、 九章算术 、 孙子算经 、五曹算经 、 夏侯阳算经 、 孙丘建算经 、 海岛算经 、 五经算术 、 缀术 、 缉古算机等 10 部算书，被称为“算经十书” 某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣一天，他们根据最近对
7、这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少” ；乙：“甲比丙多” ；丙：“我比丁多” ；丁：“丙比乙多” ，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同) 甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )A乙甲丙丁 B甲丁乙丙C丙甲丁乙 D甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲 乙 丙 丁甲说 丁乙乙说 甲丙丙说 丙丁丁说 丙乙对于选项 A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项 B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项 C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项 D，甲说
8、的对，也正好是最少的，符合，选 D.8(2018河北省衡水中学模拟) 已知 2，点 C 在线段 AB 上，且 的最小值为|OA | |OB | |OC |1，则 (tR) 的最小值为 ( )|OA tOB |A. B. C2 D.2 3 5答案 B解析 2，|OA | |OB |点 O 在线段 AB 的垂直平分线上点 C 在线段 AB 上，且 的最小值为 1，|OC |当 C 是 AB 的中点时 最小，此时 1，|OC | |OC |此时 与 的夹角为 60，OB OC ， 的夹角为 120.OA OB 又 2 2t 2 22t |OA tOB | OA OB OA OB 44t 22t22c
9、os 1204t 24t44 23 3，(t 12)当且仅当 t 时等号成立12 2 的最小值为 3，|OA tOB | 的最小值为 .|OA tOB | 39已知向量 a(2,4)，| b|2 ，| a2b|8，则 a 在 ab 方向上的投影为_答案 131010解析 由 a(2,4)，| b|2，|a2b|8，可知|a| 2 ，22 42 5(a2b) 2a 24b 24a b64，则 ab7，所以 a 在 ab 方向上的投影为aa b|a b| a2 aba2 b2 2ab .20 720 4 2 7 13101010(2018烟台模拟)如果 2， 3，ab4，则 的值是_|a| |b|
10、 |a 2b|答案 2 6解析 由 2， 3，a b4，|a| |b|得 |a 2b| a 2b2 a2 4b2 4ab 2 .4 36 44 611(2018石家庄模拟)已知向量 a 与 b 的夹角是 ，|a| 1，|b| ，则向量 a2b 与 a 的夹3 12角为_答案 3解析 ab cos ，|a|b|3 14a(a2b)a 2 2ab ，12|a 2b| a 2b2 1.a2 4ab 4b21 414 414设向量 a2b 与 a 的夹角为 ，cos ，aa 2b|a|a 2b| 12又因为 0，所以 .312(2018宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的
11、第一人，他在张丘建算经中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为 x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组Error!的解其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数 m 的值为_答案 4解析 由Error!得 y25 x，故 x 必为 4 的倍数，74当 x4t 时，y257t，由 y257t0 得，t 的最大值为 3，故判断框应填入的是 t4？，即 m4.13若非零向量 a，b 满足|b | |a|，若( a2b)(3atb )，a 与 b 的夹角等
12、于 ，则实数 t 的24值为_答案 95解析 由 a 与 b 的夹角等于 可得4cos ，故 ab |a|2.4 ab|a|b| ab2|a|2由(a2b) (3 atb)可得3a2tab6ab2tb 20，即 3|a|2 (6t)|a| 24t|a| 20，又 a 为非零向量，所以|a| 20，则有 36t4t 0，解得 t .9514(2018咸阳模拟)已知圆的半径为 1，A，B ，C，D 为该圆上四个点，且 ，AB AC AD 则ABC 面积的最大值为_答案 1解析 如图所示，由 知，四边形 ABDC 为平行四边形，AB AC AD 又 A，B，C ，D 四点共圆，四边形 ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径，ABC 的面积 S ABAC AD2，12 12AB2 AC22 14当 AD 是圆的直径时，ABC 的面积最大当 ABAC 时，ABC 的面积取得最大值 41.14
