1、解答题滚动练 51.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，ABCD，CD4，PAABBCAD2，Q 为棱 PC 上的一点，且 PQ PC.13(1)证明：平面 QBD平面 ABCD；(2)求直线 QD 与平面 PBC 所成角的正弦值方法一 (1)证明 连接 AC 与 BD 交于点 O，连接 QO，则由ABOCDO ，得AO AC，13由于 PQ PC，则有 QOPA，13由 PA平面 ABCD，有 QO平面 ABCD，又 QO平面 QBD，所以平面 QBD平面 ABCD.(2)解 过 D 作平面 PBC 的垂线，垂足为 H，则DQH 即为所求的线面角 ，设 DHh，因为 VQBCD
2、 V DBCQ ，即 SBCD QO SBCQ h13 13代入有 2 h，13 3 43 13 237解得 h ，4217又因为 QD2QO 2OD 2，所以 QD ，83所以 sin .hDQ 32114方法二 (1)证明 以 A 为原点，分别以射线 AB，AP 为 x，z 轴的正半轴，在平面 ABCD内过 A 作 AB 的垂线，垂线所在射线为 y 轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，由题意知各点坐标如下：A(0,0,0)，B (2,0,0)，C(3， ，0)，D (1， ，0)，P(0,0,2)，Q ，3 3 (1，33，43)因此 ( 3， ，0) ， ，BD 3 DQ (2， 233
3、，43)设平面 QBD 的一个法向量为 n1，平面 ABCD 的一个法向量为 n2，则Error!取 n1(1， ，0)，3同理可取 n2(0,0,1) ，所以 n1n20，所以平面 QBD平面 ABCD(2)解 设 QD 与平面 PBC 所成角为 ， ， (2,0 ，2)，DQ (2， 233，43) PB (3， ，2)，PC 3设平面 PBC 的一个法向量为 n，则Error!取 n ，(1， 33，1)所以 sin |cos ，n | .DQ |DQ n|DQ |n| 32114所以 QD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .321142已知函数 f(x)(t1)ln x tx23t，
4、t R .(1)若 t0，求证：当 x0 时，f (x1) x x2；12(2)若 f(x)4x 对任意 x1 ，) 恒成立，求 t 的取值范围(1)证明 当 t0 时，f( x)ln x，f(x1)ln(x1)，即证 ln(x1)x x2.12令 g(x)ln(x1) x2x(x 0) ，12则 g(x) x1 0，1x 1 x2x 1从而函数 g(x)在 x0 ，)上单调递增，g(x)g(0)0，即当 x0 时，f( x1)x x2.12(2)解 由(1)知，当 x0 时，ln(x1)x x2，12则当 x1，即 x10 时，ln xln(x1)1(x 1) (x1) 2 x22x .12
5、 12 32若 t1，则当 x1 时，( t1)ln xtx 23t 1，则当 x1 时，f(x)4x(t1)ln x tx 24x3t ( t1) tx 24x3t (x24x3)，( 12x2 2x 32) t 12从而当 f(x)4x 恒成立时，t 1.综上，满足题意的 t 的取值范围为 1，)3已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率 e ，抛物线 E：y 24x 的焦点恰好是椭圆 Cx2a2 y2b2 12的右焦点 F.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F 作两条斜率都存在的直线 l1，l 2，l 1 交椭圆 C 于点 A，B，l 2 交椭圆 C 于点G，H，若|AF|是| AH
6、|FH|与| AH|FH|的等比中项，求|AF|FB| GF|FH|的最小值解 (1)依题意得椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(1,0)，即 c1，又 e ，a2，b 23，ca 12故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)|AF|是| AH| FH|与|AH| |FH|的等比中项，|AF| 2| AH|2|FH| 2，即|AF| 2 |FH|2|AH| 2，直线 l1l 2.又直线 l1，l 2 的斜率均存在，两直线的斜率都不为零，故可设直线 l1：x ky1( k0) ，直线 l2：x y1，1kA(x1，y 1)，B (x2，y 2)，G(x 3，y 3)，H(x 4，y 4)
7、由Error!消去 x，得(3 k24)y 26ky90，Error!同理得Error!|AF|FB| (1k 2)|y1y2|，x1 12 y21 x2 12 y2|GF|FH| |y3y4|，x3 12 y23 x4 12 y24 (1 1k2)|AF|FB| GF|FH|(1k 2)|y1y2| |y3y4|(1 1k2)(1k 2) 9(1 k 2)93k2 4 (1 1k2) 9k23 4k2 ( 13k2 4 13 4k2) .631 k22121 k22 k2 6312 k21 k226312 1k2 1k2 2又 k20，k 2 2，当且仅当 k21 时取等号，1k2所求式子取
8、最小值 .367故|AF|FB| GF|FH|的最小值为 .3674在数列a n中，已知 a1 ，a n1 ，其中 nN *.13 2a2na2n 1(1)求 a2 的值，并证明：a nan1 ；(2)证明：a n ；12n 1(3)设 Tn ，求证：T nn .1a1 1 1a2 1 1an 1 34证明 (1)由题意得 an0，a 2 .2a21a21 12(13)2(13)2 1 15方法一 1，an 1an 2ana2n 1 2an 1an所以 an1 a n，当且仅当 an1 时取等号，又 ana 1 ，所以等号取不到13所以 an1 1 成立；1a1 1 34 34当 n2 时，nT nb 1b 2b nn .34综上可知，T nn .34方法二 由(1)知 an ，即 3an1，13所以 an1 ，2a2na2n 1 2a2na2n 3an 2anan 3从而 1 1 ，an 1an 1 1 1an 1 1 12anan 3 1 23 anan 1所以 n1 n1 ，anan 1 a1a1 1(23) 14(23)所以 n .34 34
