1、(四)函数与导数(2)1(2018成都模拟)已知 f(x)ln xax1(aR )(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当 a2，且 x1 时，f(x)e x1 2 恒成立(1)解 f(x) ln xax 1，aR，f(x ) a ，1x ax 1x当 a0 时，f(x )的增区间为(0，) ，无减区间，当 a0 时，增区间为 ，减区间为 .(0，1a) (1a， )(2)证明 当 x1，)时，由(1)可知当 a2 时，f(x)在1，) 上单调递减，f(x)f (1)1，再令 G(x)e x1 2，在 x1 ，)上，G(x) ex1 0，G( x)单调递增，所以 G(x)G(1)1，所以 G(x
2、)f(x )恒成立，当 x1 时取等号，所以原不等式恒成立2(2018合肥模拟)已知函数 f(x)x ln x，g(x)(x 21)( 为常数)(1)若函数 yf(x )与函数 yg(x)在 x1 处有相同的切线，求实数 的值；(2)当 x1 时，f(x )g(x)，求实数 的取值范围解 (1)由题意得 f( x)ln x1，g(x)2x ，又 f(1)g(1)0，且函数 yf(x) 与 yg(x )在 x1 处有相同的切线，f(1)g(1)，则 21，即 .12(2)设 h(x)xln x(x 21)，则 h(x)0 对x 1 ，)恒成立h(x )1ln x2x，且 h(1)0，h(1)0，
3、即 12 0， .12另一方面，当 时，记 (x)h(x)，12则 (x) 2 .1x 1 2xx当 x1 ，)时，(x )0，(x)在 1，)内为减函数，当 x1 ，)时，(x ) (1)12 0，即 h(x) 0，h(x)在1，)内为减函数，当 x1 ，)时，h(x )h(1)0 恒成立，符合题意当 0，则 1(1)120，(1，12)即 h(x)0，h(x)在 内为增函数，(1，12)当 x 时，h(x )h(1)0，不符合题意，(1，12)综上所述， 的取值范围是 .12， )3(2018山东省名校联盟模拟) 已知 f(x)x exa(x1) 2 .1e(1)若函数 f(x)在 x1
4、处取得极值，求 a 的值；(2)当 x2 时，f(x)0，求 a 的取值范围解 (1)f(x) (x1)e x2a(x1)(x1)(e x2a)，若函数 f(x)在 x1 处取得极值，则 f(1) 0，所以 a ，e2经检验，当 a 时，函数 f(x)在 x1 处取得极值e2(2)f(x) (x1)e x2a(x1) (x1)(e x2a)，a0 时，当21 时，f(x )0，f(x )为增函数；又 f(1)0， 当 x2 时，f(x)0 成立a1，即 aln(2a)时，f ( x)0；当11 时，f (x)0，f(x)在(2，)上单调递增，又 f(1)0，当 x( 2，1)时，f(x)1 时
5、，f ( x)0，当 ln(2a)1 时，f(x )0，当20 时，xe xeln x x3x 2.12(1)解 由题意可知，g(x ) f( x)xaae x，则 g(x) 1ae x，当 a0 时，g(x)0，g(x)在(，)上单调递增；当 a0 时，当 x0，当 xln a 时，g(x )0 时，g( x)的单调递增区间为 (，ln a)，单调递减区间为(ln a，)(2)解 由(1)可知，a0，且 g(x)在 x ln a 处取得最大值，g(ln a) ln aaae aln a1，ln即 aln a10，观察可得当 a1 时，方程成立，令 h(a)aln a1( a0)，h (a)1
6、 ，1a a 1a当 a(0,1)时，h(a)0，h(a)在(0,1)上单调递减，在(1，) 上单调递增，h(a)h(1)0，当且仅当 a1 时，aln a 10，f(x) x2xe x，12由题意可知 f(x )g(x)0，f (x)在0，)上单调递减，f(x)在 x0 处取得最大值 f(0)1.(3)证明 由(2)知，若 a1，当 x0 时，f( x)0；当 xe 时，F(x)0 时，x exeln x x3 x2.125(2018四省名校大联考)已知函数 f(x)a(x1) 2e x(aR) (1)当 a 时，判断函数 f(x)的单调性；12(2)若 f(x)有两个极值点 x1，x 2(
7、x10，得 x0，g(x)即 f(x)在区间(，0)上单调递增，在区间(0 ，)上单调递减f(x )maxf(0) 0.对xR，f ( x)0，f(x)在 R 上单调递减(2)解 f(x)有两个极值点，关于 x 的方程 f( x)2a( x1)e x0 有两个根 x1，x 2，设 (x) 2a(x 1)e x，则 ( x)2ae x，当 a0 时，(x) 2ae x0 时，由 ( x)0，得 xln 2a，(x)即 f( x)在区间(，ln 2a) 上单调递增，在区间(ln 2a，) 上单调递减且当 x时，f( x)，当 x时，f( x)，要使 f(x) 0 有两个不同的根，必有 f(x) maxf(ln 2a) 2 a(ln 2a1)2a2aln 2a0，解得 a ，12实数 a 的取值范围是 .(12， )证明 f(1) 0，1e1 ，f(1) ，12 1e f(x1) .12 1e
