1、【学习目标】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.理解数形结合的思想；掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.【高考模拟】一、单选题1如图，过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 的大小为（ ）A 15 B 30 C 45 D 不确定【答案】B【解析】【分析】画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可【详解】故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明 MC 平行于 x 轴，且 MFAB.2已知椭
2、圆 与抛物线 有相同的焦点为 原点，点 是抛物线准线上一动点，点 在抛物线上，且 ，则 的最小值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】易知抛物线方程为 ，利用抛物线定义确定出 A 点坐标，求出 A 关于准线的对称点 B，则，利用三点共线即可求出最值 .【详解】由题意，椭圆 ，即 ，则椭圆的焦点为 ，不妨取焦点 抛物线， 抛物线的焦点坐标为 ， 椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ，即 ，则抛物线方程为 ，准线方程为 ， ，由抛物线的定义得： 到准线的距离为 ，即 点的纵坐标 ，又点 在抛物线上， ，不妨取点 坐标 ， 关于准线的对称点的坐标为 ，则，即 三点共线时，有最小值，最小值为 ，
3、故选 A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题. 3顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是（ ）A B C 或 D 或【答案】C【解析】【分析】依题意，设抛物线的标准方程为 （ ）或 （ ） ，将点 的坐标代入抛物线的标准方程，求得 即可【详解】【点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题4已知抛物线 的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段 MF 相交于点 A，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 （ ）A B 1 C 2 D 3【答案】B【解析】【分析
4、】根据题意画出图形分析，根据抛物线的定义可得 ，则得 ，再结合弦长可得 然后在 RtMDE 中结合勾股定理可得 ，进而可得【详解】画出图形如下图所示由题意得点 在抛物线上，则 ，则 由抛物线的性质可知 ，则 ，被直线 截得的弦长为 ，则 又 ，在 RtMDE 中， ，即 ，整理得： ， ，由解得 故选 B【点睛】求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，可根据涉及抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，并根据数形结合的方法构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解可得到结果5抛物线 上的动点 到其焦点的距离的最小值为 1，则 （ ）A B 1 C 2 D
5、4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.【详解】抛物线 上的动点 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： .本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6抛物线 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 A B C D 【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程化标准方程为 ，再由焦半径公式 ，可求得 。【详解】抛物线为 ，由焦半径公式 ，得 。选 B.【点睛】抛物线焦半径公式：抛物线 ，的焦半径公式 。抛物线 ，的焦半径公式 。抛
6、物线 ，的焦半径公式 。抛物线 ，的焦半径公式 。7已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为A B C D 【答案】C【解析】【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点，即为双曲线的一个焦点，由双曲线中参数的关系求出 m，将双曲线中的参数值代入渐近线标准方程，即可求得渐近线方程.【详解】【点睛】本题考查双曲线与抛物线参数关系及渐近线的方程，求解时注意抛物线的焦点在 y 轴上，注意将双曲线化为标准形式再求解，注意焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线公式，避免将参数混淆，造成错解.8已知等腰三角形 OPM 中， OP MP， O 为抛物线 =2px(p0)的顶点，点 M 在抛物线的对称轴
7、上，点 P 在抛物线上，则点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离是A 2 p B p C 2 p D p【答案】B【解析】【分析】先根据条件解得 P 的横坐标，再根据抛物线定义求点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离.【详解】由题意得因此点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离为 ，选 B.【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 为抛物线上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线
8、上移动时，使 取得最小值的的坐标为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】已知抛物线 y2=4x，画出抛物线图象，以及焦点和准线，过点 A 作准线的垂线，与抛物线交于点 M，即为所求点.【详解】如图，已知 y2=4x，可知焦点 F（1,0） ，准线：x= -1，过点 A 作准线的垂线，与抛物线交于点 M，作根据抛物线的定义，可知|BM|=|MF|MF|+|MA|=|MB|+|MA|取最小值，已知 A（3,2） ，可知 M 的纵坐标为 2，代入 y2=4x 中，得 M 的横坐标为 2，即 M(2，2).故选：D【点睛】抛物线上一点到焦点的距离，可以转化为该点到准线的距离，与已知定点，构造
9、出“一条直线” ，根据“点到直线垂线段最短”求解.10已知抛物线 ，过焦点 作直线与抛物线交于点 ， ，设 ， ，则 的最小值为 A B C D 【答案】D【解析】【分析】由抛物线 与过其焦点 的直线方程联立，消去 整理成关于 一元二次方程，设出两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得结论 . 【详解】【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，
10、使问题得到解决.11斜率为 的直线经过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 A,B 两点,则 =（ ）A 8 B 6 C 12 D 【答案】A【解析】【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线方程，与抛物线方程联立，消去 ，根据韦达定理求得 的值，进而根据抛物线的定义可知 ，从而可得结果.【详解】【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离
11、转化为到准线的距离，使问题得到解决.12抛物线 的准线方程为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】首先将抛物线方程化为标准方程，由抛物线的准线方程的定义可求得结果.【详解】因为抛物线 可化为 ，则抛物线的准线方程为 ，故选 A.【点睛】该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的准线方程，在解题的过程中，注意首先将抛物线方程化成标准方程.13抛物线 的焦点为 ,过点 的直线交抛物线于 、 两点，点 为 轴正半轴上任意一点，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】【详解】分析：设 ，则，由 利用韦达定理求解即可.详解：设 ，的焦点 ，设过点 的直线为 ，故选 B.
12、 点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.14抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为A B C D 【答案】C【解析】分析：求MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值设点 M 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当 D、M、A 三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值点睛：（1）本题主要考查椭圆的定
13、义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理的能力.(2)判断当 D，M，A 三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键15已知点 在以点 为焦点的抛物线 （ 为参数）上，则 等于（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：欲求 ，根据抛物线的定义，即求 到准线 的距离，从而求得 即可.详解：抛物线 ，准线 ，为 到准线 的距离，即为 4，故选：D.点睛：抛物线的离心率 e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化16已知 是抛物线 上一
14、点，则 到抛物线焦点的距离是（ ）A 2 B 3 C 4 D 6【答案】B【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点 到抛物线焦点的距离 详解：由抛物线方程可得抛物线 中 ，则利用抛物线的定义可得点 到抛物线焦点的距离故选 B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17已知抛物线 上一动点到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的最小值为 ， F 是抛物线的焦点， 是坐标原点，则 的内切圆半径为A B C D 【答案】D【解析】分析：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的最小值，也即为 最小，当 三点共线时取
15、最小值。详解：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点 M（0，4）的距离之和的最小值，也即为 最小，当 三点共线时取最小值。所以 ，解得 ，由内切圆的面积公式 ，解得 。故选 D。点睛：利用到准线的距离与到焦点的距离之间的互化是一种常见解法，利用图像用几何法分析取最小值时的点的位置，内切圆的面积公式 ，利用面积和三角形三边求内切圆半径。18设抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为A B C D 【答案】D【解析】分析：椭圆的右焦点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，求解 ，再得出准线方程。详解：椭圆的右焦点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，解得 ，得出准线方程点睛：
16、抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程19已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，抛物线上有一点 ，过点 作 ，垂足为 ，且，若 的面积为 ，则 等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由 可知 为等边三角形，根据面积可求出 ，根据抛物线的性质即可求出 p 的值. 详解：如图所示，根据 可知 为等边三角形，设等边三角形的边长为 a，且 的面积为 ，解得 ，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的方程、性质，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题.20已知 ，则“ ”是“抛物线 的焦点在 轴正半轴上”的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】C【
17、解析】【分析】先讨论充分性，再讨论必要性，即得解.【详解】【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.二、填空题21已知抛物线 的焦点 和 ，点 为抛物线上的动点，则 取到最小值时点 的坐标为_【答案】【解析】【分析】设点 P 在准线上的射影为 D，由抛物线的定义把问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得【详解】过点 P 作 PB 垂直于准线，过 A 作 AH 垂直于准线，
18、PA+PF=PA+PBAH，此时最小，点 P 与点 A 的坐标为相同，所以点 P 为 .故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.22准线方程为 的抛物线标准方程为_【答案】【解析】【分析】根据准线方程得到抛物线的开口方向和 p 的值，即得抛物线的标准方程.【详解】【点睛】(1)本题主要考查抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.2
19、3平面内动点 到点 的距离和到直线 ： 的距离相等，则动点 的轨迹方程为是_【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义知，动点轨迹为抛物线，焦点 F,准线为 ， ，即可写出抛物线方程.【详解】由题意知，该点轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其中 ，所以方程为 .【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. 24已知抛物线 的焦点与圆 的圆心重合，则 的值是_.【答案】【解析】【分析】抛物线的焦点坐标为 ，圆的圆心坐标为 ，利用两者相同可得 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为 ，圆的圆心坐标为 ，故 即 ，填 .【点睛】圆的一般方程为 ，其圆心为 ，注意 .求圆锥曲线的基本量时
20、，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算.25若抛物线 上的点 到焦点的距离为 ，则 到 轴的距离是_.【答案】10【解析】【分析】根据抛物线定义，求得 P 到准线的距离，进而求得 P 到 x 轴的距离。【详解】因为抛物线所以焦点坐标为 ，准线方程为 因为点 到焦点的距离为 ，根据抛物线定义，则 到准线的距离也为所以点 P 到 x 轴的距离为 10【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用，属于基础题。26已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 斜率为 的直线 与抛物线 交于点 （ 在轴的上方） ，过 作 于点 ，连接 交抛物线 于点 ，则 _.【答案】2.【解析】【分析】根据抛物线
21、定义可得 MF=MN，再根据直线倾斜角得三角形 MNF 为正三角形，即得 NF 倾斜角，联立方程可得Q 横坐标，解得结果.【详解】【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 为抛物线上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到27已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上任意一点，若点 ，则 的最小值为_【答案】5【解析】【分析】转化为 到准线的距离，观察 ， ， 三点的位置特征，当 垂直于准线时， 最小。【详解】如图，过点 作 于点
22、， 为抛物线的准线连接 ， ，作 于点则当点 为 与抛物线的交点时，取等号【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，求 的最小值时，注意结合图形，根据平面几何知识判断，体现了数形结合的思想。28已知双曲线 ，若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 ，则抛物线 的方程为 _.【答案】【解析】【分析】由双曲线的方程易求出双曲线的渐近线方程，进而代入点到直线距离公式，求出 的值，即可求得抛物线的方程【详解】双曲线 ， 双曲线 的渐近线方程为 ，即抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，解得抛物线 的方程为故答案为【点睛】本题为求抛物线的方程结合了双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离，自要按照
23、题目要求结合公式即可算出结果，较为基础29抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成三角形的面积等于 ，则 _.【答案】【解析】【分析】写出抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线方程，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积求解即可【详解】抛物线 的准线为 ，双曲线 的两条渐近线方程分别为： ，这三条直线构成等腰三角形，底边长为： ，三角形的高为： ，因此，所求三角形面积： ，解得 故答案为：2【点睛】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型3
24、0已知点 P 是抛物线 y24 x 上的动点， F 是该抛物线的焦点，点 A 的坐标是(4， a)，则当| a|0)上一点到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6,则抛物线方程为_ .【答案】 y2=4x 或 y2=36x.【解析】分析：抛物线的点的坐标为 ，则有 ，解出 可得抛物线方程.详解：设抛物线的点的坐标为 ，则 ，所以 ，故 ，解得 或 .故抛物线的方程为 或者点睛：求抛物线的方程，一般是先定型（看开口） ，再定位（看焦点的位置） ，最后定量（求出的 的值）.39抛物线 的焦点到准线的距离为_【答案】【解析】分析：根据题意，将抛物线的方程转化为标准方程，进而求出其焦点坐标和准线方程，
25、据此计算焦点到准线的距离即可得答案详解：根据题意，抛物线 y= 的标准方程为 x2= y，其焦点坐标为（0， ） ，准线方程为 y= ，则其焦点到准线的距离为 ，故答案为： 点睛：本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程40抛物线 的准线方程为_【答案】【解析】分析：首先将方程整理为标准型，然后求解直线方程即可.详解：抛物线的标准方程为： ，则抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 .点睛：抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益三、解答题41求下列各曲线的标准方程（1）长轴长为 8，短轴长为 4，焦点在
26、x 轴上的椭圆；（2）抛物线的焦点是双曲线 16x29y 2=144 的右顶点【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由题意， ，即可求出焦点在 轴上的椭圆方程；（2）由双曲线方程求出双曲线的左顶点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则抛物线方程可求【详解】（1）由题意得：2a=8,2b=4a=4，b=2，椭圆的标准方程为 ；（2）由 16x29y 2=144 得：x 2/9+y2/16=1 a 2=9，即 a=3；双曲线 16x29y 2=144 的右顶点为（3，0） ，抛物线的焦点为（3，0） ，由 p/2=3 得：p=6抛物线的方程为 y2=12x【点睛】本题考查椭圆、抛物线的方程，
27、考查学生的计算能力，属于中档题42已知抛物线 的焦点 ，点 在抛物线 上，过焦点 的直线 交抛物线 于两点 .（1）求抛物线 的方程以及 的值；（2）记抛物线 的准线与 轴交于点 ，若 ， ，求 的值.【答案】 （1）y 2=4x，2（2）【解析】【分析】（1）依题意， ，即可求的抛物线方程，再根据抛物线的定义，直接可以写出 的值.（2）设 l：x=my+1，M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，联立方程，消去 x，得关于 y 的一元二次方程，由，得 ，再根据 ，求得 m 的值，即可求得 的值. 【详解】（2）依题意，F（1，0） ，设 l：x=my+1，设 M（x 1，y 1） 、
28、N（x 2，y 2） ，联立方程 ，消去 x，得 y24my4=0所以 ， 且 ，又 ，则（1x 1，y 1）=（x 21，y 2） ，即 y1=y 2，代入得 ，消去 y2得 ，B（1，0） ，则 ，则（m 2+1） （16m 2+8）+4m4m+8=16m 4+40m2+16，当 16m4+40m2+16=40，解得 ，故 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.43已知抛物线 与椭圆 的一个交点为 ，点是 的焦点，且 .(1)求 与 的方程；(2)设 为坐标原点，在第一象限内，椭圆 上是否存在点 ，使过 作 的垂线
29、交抛物线 于 ，直线 交轴于 ，且 ?若存在，求出点 的坐标和 的面积；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) 见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求 ，点的坐标代入求出 ， 的值；（2）设出 ， 的方程与椭圆、抛物线分别联立，求出 的横坐标，利用 ，即可得出结论【详解】（1）由抛物线定义： ，所以 的方程为 ，将 代入 得 ，即，将 代入 ，得 ，故 方程为 .即【点睛】本题考查抛物线、椭圆的方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题44已知抛物线 的焦点为 ，过点 垂直于 轴的直线与抛物线 相交于 两点，抛物线在 两点处的切线及直线 所围成的三角形面积为 .(1)求抛物线 的方程；(2)设 是抛物线 上异于原点 的两个动点，且满足 ，求 面积的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）求出 坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出 ，从而可得结果；（ 2）计算 ，设出 方程，求出 与 轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得 ，得出 面积 关于 的函数，从而可得函数的最值.【详解】(2)由已知可得 ， 设 则 ， . 令直线 的方程为 ，联立方程组 消去 得 ， 则 ，
