1、八函数与导数一选择题1.（2016 新课标 2 理数 12）已知函数 满足 ，若函数()fxR()2()fxf与 图像的交点为 则 1xy()fx12(,),(),myy1miiiy（A）0 （B）m （C）2m （D）4m解： 的图像的对称中心为： 1yx(0,1)又函数 满足()fR()2fxf所以 图像的对称中心为：yx,所以 11()02mmiiii ym故选2.（2017 新课标 2 理数 11）若 是函数 的极值点，则2x21()exfxa的极小值为()fxA B C D113e35【答案】A【解析】试题分析由题可得 ，12121()2)e()e()exx xfxaaa 因为 ，所
2、以 ， ，故 ，(2)0f21()xfx21()xf令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在()fx2x1()f,)(,上单调递减，2,1所以 的极小值为 ，故选 A()f 1()ef【考点】 函数的极值、函数的单调性3.（2018 新课标 2 理数 3）函数 的图象大致为A. A B. B C. C D. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解： 为奇函数，舍去 A,舍去 D;，所以舍去 C；因此选 B.4. （2016 新课标 2 理数 11） 已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则 A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根
3、据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，所以 ,因此 ，因为 ，所以 ，从而 ，选 C.二填空题1.（2016 新课标 2 理数 16）若直线 是曲线 的切线，也是曲线ykxb=+ln2yx=+的切线，则ln(1)yx=+_.b【答案】 l2. （2018 新课标 2 理数 13） 曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：三解答题1.（2016 新课标 2 理数 21） (I)讨论函数 的单调性，并证明当 0 时，2()xfxe-=+x()0;x
4、e(II)证明：当 时，函数 有最小值.设 g（x）的最小值,1)a2x=(0)eagx（ ）为 ，求函数 的值域.()h(h【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 时，(0,)x证明结论；（）用导数法求函数 的最值，在构造新函数()0fx()g，又用导数法求解.0h2xea试题解析：（） 的定义域为 .()f(,2)(,)22(1) 0,()xxxxeef且仅当 时， ，所以 在 单调递增，0)0ff,(,)因此当 时，(,x()1x所以 2),20xee（II） 32(2)() (),xeaxgxfa由（I）知， 单调递增，对任意(f 0,110,(2)0,ffa因此
5、，存在唯一 使得 即 ，0,2x0()fxa0()gx当 时， 单调递减；0(),fag当 时， 单调递增.x()()xx因此 在 处取得最小值，最小值为()g000 00221)+()1.2xxxeaefe于是 ，由 单调递增0h()x2()() ,xxx所以，由 得0(,2x0021().4xeeeha因为 单调递增，对任意 存在唯一的xe2(,40(,x0(),1afx使得 所以 的值域是(),ha()ha21(,e综上，当 时， 有最小值 ， 的值域是0,1)()gx()ha21(,.4e2 （2017 新课标 2 理数 21）已知函数 ，且 2lnfxx)0f（1）求 ；a（2）证明
6、： 存在唯一的极大值点 ，且 ()fx0220e()f【答案】 （1） ；（2）证明见解析（2）由（1）知 ， 2lnfxx()2lnfx设 ，则 lnhx1()h当 时， ；当 时， ，(0,)20x,)2x()0hx所以 在 上单调递减，在 上单调递增x1(又 ， ， ，所以 在 有唯一零点 ，在2eh()1hx1(,)20x有唯一零点 1，1,)且当 时， ；当 时， ，当 时，0,x0x0,xhx1,h因为 ，所以 是 的唯一极大值点()fx0xf由 得 ，故 00ln21001xx由 得 ,1x4fx因为 是 在（0，1）的最大值点，0由 ， 得 1e,(e)f120()efxf所以
7、 220x【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值3 （2018 新课标 2 理数 21） 已知函数 （1）若 ，证明：当 时， ；（2）若 在 只有一个零点，求 【答案】 （1）见解析（2）详解：（1）当 时， 等价于 设函数 ，则 当 时， ，所以 在 单调递减而 ，故当 时， ，即 （2）设函数 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点（i）当 时， ， 没有零点；（ii）当 时， 当 时， ；当 时， 所以 在 单调递减，在 单调递增故 是 在 的最小值若 ，即 ， 在 没有零点；若 ，即 ， 在 只有一个零点；若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，由（1）知，当 时， ，所以 故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点综上， 在 只有一个零点时，
