1、(六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线 y24x 的焦点 F 作抛物线的两条弦 AB，CD，设直线 AC 与 BD 的交点为P，直线 AC，BD 分别与 y 轴交于 M，N 两点(1)求证：点 P 恒在抛物线的准线上；(2)求证：四边形 PMFN 是平行四边形证明 (1)由题意知 F(1,0)，不妨设 A(a2,2a)，D (b2,2b)，a0，b0)过点(2,1)，直线 l 过点 P(0，1)与抛物线 C 交于A，B 两点，点 A 关于 y 轴的对称点为 A，连结 AB.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)问直线 AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解 (1)将点(
2、2,1)代入抛物线 C 的方程，得 p2，所以抛物线 C 的标准方程为 x24y.(2)设直线 l 的方程为 ykx 1，又设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A( x 1，y 1)，由Error! 得 x24kx40，则 16 k2160，x 1,2 ，4k 16k2 162x1x24，x 1x 24k，所以 kAB ，y2 y1x2 x1 x24 x214x1 x2 x2 x14于是直线 AB 的方程为 y (xx 2)，x24 x2 x14所以 y (xx 2) x1，x2 x14 x24 x2 x14当 x0 时，y1，所以直线 AB 过定点(0,1)3.如图，已知定点
3、R(0，3)，动点 P，Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动，延长 PQ 至点 M，使 ，且 0.PQ 12QM PR PM (1)求动点 M 的轨迹 C1；(2)圆 C2：x 2(y1) 21，过点(0,1)的直线 l 依次交 C1于 A，D 两点(从左到右) ，交 C2于B，C 两点(从左到右)，求证： 为定值AB CD (1)解 方法一 设 M(x，y )，P(x 1,0)，Q (0，y 2)，则由 0， 及 R(0，3)，得PR PM PQ 12QM Error!化简得 x24y .所以动点 M 的轨迹 C1是顶点在原点，开口向上的抛物线方法二 设 M(x，y )由 ，得 P ，Q .P
4、Q 12QM ( x2，0) (0，y3)所以 ， .PR (x2， 3) PM (3x2，y)由 0，得 0，PR PM (x2， 3)(3x2，y)即 x23y0，化简得 x24 y.34所以动点 M 的轨迹 C1是顶点在原点，开口向上的抛物线(2)证明 由题意，得 ABCD，C 2的圆心即为抛物线 C1的焦点 F.AB CD 设 A(x1，y 1)，D (x2，y 2)，则 ABFAFB y 111y 1.同理 CDy 2.直线 l 的斜率显然存在，设直线 l 的方程为 ykx1，联立Error! 得 x24kx40，所以 x1,2 ，4k 16k2 162所以 x1x 24k ，x 1
5、x24，所以 ABCDy 1y2AB CD (kx 11)(kx 21) k 2x1x2k( x1x 2)14k 24k 211，所以 为定值 1.AB CD 4.如图，已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A(x1，y 1)(y10)，B(x2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与 x 轴的交点(1)若 1，求直线 l 的斜率；TA TB (2)求ATF 的最大值解 (1)因为抛物线 y24x 的焦点为F(1,0)， T(1,0)，当 lx 轴时， A(1,2)，B(1 ， 2)，此时 0，与 1 矛盾，TA TB TA TB 所以可设直线 l 的方程为 yk(x1) ，代入 y24x，得 k2x2(2k 24) xk 20，x1,2 ，2k2 4 2k2 42 4k42k2则 x1x 2 ，x 1x21，2k2 4k2故 y y 16x 1x216，y 1y2 4.212因为 1，所以(x 11)(x 21)y 1y21，TA TB 将代入并整理，得 k24，所以 k2.(2)因为 y10，所以 tanATF 1，y1x1 1 y1y214 1 1y14 1y1当且仅当 ，即 y12 时取等号，y14 1y1因为点 A 在第一象限，所以ATF 的最大值为 .4
