1、（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.（3）了解双曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程1双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距（2）符号语言： .12120，Ma（3）当 时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支；12F2F当 时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支；a1当 时，轨迹为分别以 F1， F2为端
2、点的两条射线；12|a当 时，动点轨迹不存在|F2双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 (a0， b0)，焦点分别为 F1( c，0)，21xybF2(c，0)，焦距为 2c，且 ，如图 1 所示；22a（2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 (a0， b0)，焦点分别为 F1(0， c)，21yxbF2(0， c)，焦距为 2c，且 ，如图 2 所示22a图 1 图 2注：双曲线方程中 a， b 的大小关系是不确定的，但必有 c a0， c b03必记结论（1）焦点到渐近线的距离为 b.（2）与双曲线 (a0， b0)有共同渐近线的双曲线
3、方程可设为21xy2(,)xyabb（3）若双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 或nyxm2(0,)xymnn22(0,)nxmy（4）与双曲线 (a0， b0)共焦点的双曲线方程可设为21xb 221(0,xyabakb22)bka（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 210mxny（6）与椭圆 (ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为21xy 221(0,xyabab22)ba二、双曲线的几何性质1双曲线的几何性质标准方程(a0， b0)21xyb(a0， b0)21yxb图形范围 ，|xayR，|yaxR对称性 对称轴： x 轴、 y 轴；对称中心：原点焦点 左焦点 F1(
4、c，0)，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0， c)，上焦点 F2(0， c)顶点 12,0),Aa12(0,(,Aa轴线段 A1A2是双曲线的实轴，线段 B1B2是双曲线的虚轴；实轴长| A1A2|2 a，虚轴长| B1B2|2 b渐近线 byxa ayx离心率 e 2cea(1)e2等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为 ；2(0)xy（2）渐近线方程为 ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于 ，离心率 2ae2考向一 双曲线的定义和标准方程1在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具
5、备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” 若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用 2求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意 a、 b、 c 的关系易错易混.典例 1 已知 F1,F2为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1|=2|PF2|,则 cos F1PF2=A B4 35C D3 4【答案】Ccos F1PF2= = .22111|PF38163442典 例 2 已知 F 为双曲线 的左焦点， 为 上的点若 的长等于虚轴长的 2 倍，点在线段 上，则 的周长为_【
6、答案】44【解析】易知双曲线 的左焦点为 ，点 是双曲线的右焦点，虚轴长为 ，双曲线的图象如图：1若双曲线 =1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点， A(1，4)，则 |PF|+|PA|的最小值是241xy_. 考向二 求双曲线的方程求 解 双 曲 线 的 标 准 方 程 时 ， 先 确 定 双 曲 线 的 类 型 ， 也 就 是 确 定 双 曲 线 的 焦 点 所 在 的 坐 标 轴 是 x 轴 还 是y 轴 ， 从 而 设 出 相 应 的 标 准 方 程 的 形 式 ， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出 方 程 中 的 的 值 ， 最 后 写 出 双 曲2,ab线 的
7、 标 准 方 程 .在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.21(0)AxBy典例 3 已知双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的倾斜角是 的一条渐近线的倾斜角的 倍，则 的方程为_.【答案】 21yx典例 4 如图,已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切,求动圆圆心 M的轨迹方程.2已知 分别是双曲线 E： 的左、右焦点， P 是双曲线上一点， 到左顶12,F21xyab(0,)b 2F点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍.（1）求双曲线的渐近线方程；（2
8、）当 时， 的面积为 ，求此双曲线的方程.1260FP12PF 483考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定 a,b 的关系，结合已知条件可解.典例 5 已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 的坐标为 ，若12,F2:1xyCab(0,)b1F7,0双曲线的右支上有一点 ，且满足 ，则该双曲线的渐近线方程为P124FPA B32yx 23yxC D4 4【答案】A典例 6 如图,已知 F1、 F2分别为双曲线 C: 的左、右焦点, P 为第一象限内一点,21(0,)xyab且
9、满足 |F2P|=a,( + ) =0,线段 F2P 与双曲线 C 交于点 Q,若 |F2P|=5|F2Q|,则双曲线 C 的渐近线方程为A y= x B y= x5 12C y= x D y= x32 3【答案】B3已知双曲线 ： ，过左焦点 的直线切圆 于点 ，交双曲线 的右21(0,)xyab支于点 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程为A BC D12yx 32yx考向四 双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 的关系 将双曲线的离,ac abc， ， 22ab心率公式变形，即 ，注意区分双曲线中 的关系与椭圆中 的关221b
10、eac， ， c， ，系，在椭圆中 ，而在双曲线中 .22ac22ab（2）根据条件列含 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式 转化为含 或 的方程，求解可得，, ceae2注意根据双曲线离心率的范围 对解进行取舍.1()e,2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合 和 ，得到关于 的不等式，求解22cbcee即得.注意区分双曲线离心率的范围 ，椭圆离心率的范围 .另外，在建立关于 的不等()e, )1(0，式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例 7 设 F1、 F2分别是双曲线 的左、右焦点.若双曲线上存在点 A,使21(0,)xyab F1AF2=90,且| AF1|
11、=3|AF2|,则双曲线的离心率等于A B 5 2C D 12 5【答案】B【解析】由 ,123AFa由 F1AF2=90,得 ,22211F即(3 a)2+a2=(2c)2,得 e= ,选 B.0典例 8 已知 F1、 F2分别为双曲线 的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P，使21(0,)xyab得 =8a,则双曲线的离心率的取值范围是 .21|P【答案】(1,3 4已知点 为双曲线 右支上一点，点 分别为双曲线的左、右焦点，点P21(0,)xyab12,F是 的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 成立，则双曲线离心率I12F 12123IPIIFSS 的取值范围是A B, ,C D0
12、3 135已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若1F2 210,xyabP， 的面积为 ，且 ，则该双曲线的离心率为_.120P12PF 971在平面直角坐标系中, F1(-2,0),F2(2,0),动点 P 满足 |PF1|-|PF2|=3,则动点 P 的集合是A两条射线 B以 F1,F2为焦点的双曲线C以 F1,F2为焦点的双曲线的一支 D不存在2方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是13xymA BC D3双曲线 的渐近线方程为213yxA BC D3yx 3yx4已知双曲线 的右焦点在直线 上，则实数 的值为A BC D5若双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的焦距为21
13、06xya53A B10 6C D8 56已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且12,F2:1(0,)xyCab满足 ，则双曲线的离心率为212,0PPA B3 512C D7设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ，满足，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A BC D8设 、 分别是双曲线 C： 的左、右焦点，点 在双曲线 C 的右支上，且 ，则A BC D9已知双曲线 的左焦点为 F，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行于21(0,)xyab双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A B21xy21xyC D24
14、 2810已知方程 和 (其中 ab0 且 a b),则它们所表示的曲线可能是21xyabxya11设 ， 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则的面积等于A BC24 D4812九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股” ，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾” “股” “弦”.设 、分别是双曲线 ， 的左、右焦点， 是该双曲线右支上的一点，若 分别是 的“勾” “股” ，且 ，则双曲线的离心率为A BC D13已知 O 是坐标原点，双曲线 与椭圆 的一个交点为 P，点21()xya21()x
15、ya，则 的面积为A BC D14过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为_15设 分别是双曲线 的左、右焦点， 为左顶点，点 为双曲线 右支上一点， ， ， ， 为坐标原点，则 _16已知离心率 的双曲线 的右焦点为 ， 为坐标原点，以 为直径52e2:1(0,)xyCab的圆与双曲线 的一条渐近线相交于 两点.若 的面积为 1，则实数 的值为 _.AOF17已知点 分别是双曲线 的左，右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲12,F21(0,)xyab1Fx线交于 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 _,AB2F18已知 是双曲线 的右焦点, 的右支上一点 到一条渐近
16、线的距离为 2,在另一条渐近线上2:14yCx有一点 满足 ,则 _.19若双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值为21xyab21xyba_.20已知 F1、 F2分别是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 C 的实轴长为 6，离心率为 （1）求双曲线 C 的标准方程；（2）设点 P 是双曲线 C 上任意一点，且| PF1|=10，求| PF2|21已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 （1）求双曲线的标准方程；（2）若点 在第一象限且是渐近线上的点，当 时，求点 的坐标22已知双曲线 = ,P 是 C 上的任意一点.2:4xCy(1)求证:点 P
17、 到 C 的两条渐近线的距离之积是一个常数;(2)设点 A 的坐标为 ,求 的最小值.23已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、 F2在坐标轴上，离心率 e= ，且过点(4, ).(1)求双曲线的方程.(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: .24已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 有相同的焦点.24936xy(1)求双曲线的标准方程.(2)若点 M 在双曲线上, 是双曲线的左、右焦点，且 ，试判断 的12,F1263MF12MF形状.1 （2018 浙江）双曲线 的焦点坐标是213xyA( ，0)，( ，0)B(2，0)，(2，0)C(0， )，(0， )2D(0，2)，(0，2)2 （2
18、017 天津理科）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 若经过 和21(0,)xyabF2F两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(0,4)PA B21xy218xyC D248 243 （2018 新课标全国理科）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为21(0,)xyab3A B2yx yxC D 24（2017 新课标全国 II 理科）若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆:C21xyab0ab所截得的弦长为 2，则 的离心率为24xyA2 B 3C D 25（2017 新课标全国 III 理科）已知双曲线 C： (a0， b0)的一条渐近线方程为 ，21xyb52yx且与椭圆
19、有公共焦点，则 C 的方程为213xyA B280 2145xyC D2154xy236（2016 新课标全国 I 理科）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为2213xymn4，则 n 的取值范围是A(1,3) B(1, )3C(0,3) D(0, )7 （2018 新课标全国理科）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是坐标1F22:1(0,)xyCabO原点过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 若 ，则 的离心率为2FP1|6|FOPCA B5 2C D38（2016 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线2173xy的焦距是_9（2017 北京理科）若双曲线 的离心率为 ，则实
20、数 m=_21yxm10 （2018 江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条xOy21(0,)xyab(,0)Fc渐近线的距离为 ，则其离心率的值是_ 32c11 （2018 北京理科）已知椭圆 ，双曲线 若双曲线 的两2:1(0)xyMab2:1xyNmnN条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率M为_；双曲线 的离心率为_ N12（2017 山东理科）在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 的右支与焦点为 F的21(0,)xyab抛物线 20xp交于 ,AB两点，若 4FB，则该双曲线的渐近线方程为_13（2017 江苏）在平面直角坐
21、标系 中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点xOy213xy， ，其焦点是 ，则四边形 的面积是_PQ12,F12FPQ14（2017 新课标全国 I 理科）已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以 A 为圆心， b21(0,)xyab为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN=60，则 C 的离心率为_变式拓展1【答案】92 【解析】 （1）因为双曲线的渐近线方程为 ，所以点 到渐近线的距离为 （其0bxay2F20bca中 c 是双曲线的半焦距） ， 由题意知 ，2ab又因为 ，解得 ，2c43a故所求双曲线的渐近线方程是 .0xy（2）由余弦定理
22、得 ，22 21121|cos60|PFPFF即 .212| 4PFc又由双曲线的定义得 ，1a两边平方得 ， 22211|PF-得 .224cb根据三角形的面积公式得 ，即 .2123sin604483SPFb 248b又 ，43ba则 ，29716故所求双曲线的方程是 .2148xy3 【答案】B4 【答案】D【解析】设 的内切圆半径为 ，如图，12PF r由双曲线的定义得 ，1212,PFaFc则 ， ，1 2,2IPFISrSr 12ISrc由题意得 ，12123PFrrc故 ，123ca则 ，ea又 ，1所以双曲线离心率的取值范围是 ，故选 D1,35 【答案】 4考点冲关1【答案】
23、B【解析】 |F1F2|=4,|PF1|-|PF2|=30, 满足 a0；1xyab21xyB 中, 满足 a0,b0, 满足 a0,b0, 满足 a0,b0,矛盾;1xyab21xyD 中, 满足 a0, 满足 a0,b0,矛盾.故选 A.211【答案】C12【答案】D【解析】由双曲线的定义得 ，所以 ，即，由题意得 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 ，从而离心率 .故选 D13【答案】D【解析】由题意知两曲线有相同的焦点，设左、右两个焦点分别为 ， ，设 P 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得到 ，根据椭圆的定义得到 ，联立两个式子得到 ， = ，由椭圆与双曲线的标准方程得 = ，所以 与
24、重合，由余弦定理得 ，1241cos 0aFP故 ，12则 的面积为 ，故答案为 D14【答案】 15 【答案】【解析】由题得25163ab则双曲线的方程为 ，从而点 P 的坐标为（5， ）或（5， ） ，故 或 .16 【答案】【解析】双曲线 的右焦点为 ， 为坐标原点，以 为直径的圆与双曲线2:1(0,)xyCab的一条渐近线相交于 ， 两点，所以 ，则 ， ，由 的面积为 1，可得 ，AOF12ab又双曲线 的离心率 ，则 ，C254c即 ，解得 ， .17 【答案】 (1,2)18【答案】4【解析】由题意得 ,渐近线方程为 ,因为点 P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以
25、 P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设 P 在直线 上，联立方程 ,解得 ,2514yx联立方程 ,解得 ,2yx所以 ,而 ,解得19 【答案】 【解析】由双曲线的方程可知， ，所以 ，12,ceab12cabe又由 ，且 ，所以 ，22cab1224cabab因为 ，22216648abab所以 的最小值为 .20 【解析】 （1）由题易知， ， ，解得 ， ，综上，| PF2|16 或 4. 21 【解析】 （1）双曲线的离心率为 ，双曲线是等轴双曲线，设双曲线的方程为 ，将点 代入方程得： ，则 ，故双曲线方程为 （2）等轴双曲线的渐近线方程为 ，点 在第一象限且是渐近线上的点，设点 的坐标为 ，等轴双曲线中 ， ，不妨设 ， ， ， ，又 ，所以 ， ，解得 （舍去负值） ，点 的坐标为 22【解析】(1)设 P(x0,y0),P 到双曲线的两条渐近线的距离记为 d1、 d2.23【解析】(1) , , , ,可设双曲线方程为 .双曲线过点(4, ),1610= ,即 =6,双曲线方程为 .(2)由(1)可知,在双曲线中 a=b= , c= , ( ,0), ,0). ，12,33MFMFmkk又点 M(3,m)在双曲线上， =3， ，122133F mk .
