1、（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线抛物线关于过焦点 F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴注意：直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线2抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；2(0)ypx（2
2、）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ；（3）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ；2()xy（4）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 .0p注意：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永远大于 0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p0 的错误.二、抛物线的几何性质1抛物线的几何性质标准方程 2(0)ypx2(0)ypx2(0)xpy2(0)xpy图 形范 围 0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于
3、 y 轴对称焦点 (,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF准线方程 xxyy顶 点 坐标原点(0，0)几何性质离心率 1e2抛物线的焦半径抛物线上任意一点 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径0(),Pxy根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程 2(0)ypx2(0)ypx2(0)xpy2(0)xpy焦半径公式 0|PF0|PF0|PF0|PF3抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， ， ，
4、则1(,)Axy2(,)B抛物线方程 2(0)ypx2(0)yp2(0)p2(0)xpy焦点弦公式 12|()ABpx12|()ABpx12|()ABpy12|()ABpy其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A， B 两点的线段 AB，称为抛物线的通径对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 2p2(0)ypx(,)2p(,)p|2p4必记结论直线 AB 过抛物线 的焦点，交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，如图：2()（1） y1y2 p2， x1x2 .p24（2）| AB| x1 x2 p， x1 x2 p，即当 x1 x2时，弦长最短为 2
5、p.12（3） 为定值 .1|AF| 1|BF| 2p（4）弦长 AB ( 为 AB 的倾斜角)2psin2（5）以 AB 为直径的圆与准线相切（6）焦点 F 对 A， B 在准线上射影的张角为 90.考向一 抛物线的定义和标准方程1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F（抛物线的焦点） ，一条定直线l（抛物线的准线） ，一个定值 1（抛物线的离心率）.2抛物线的离心率 e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或 ，使问题简化2PFpx2py典例
6、1 平面内动点 到点 的距离和到直线 ： 的距离相等，则动点 的轨迹方程为是P0,2Fl2yP_.【答案】 28xy【解析】由题意知，该点轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其中 ，所以方程为0,2F2y4p.2xy【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. 典例 2 抛物线 上的动点 到其焦点的距离的最小值为 1，则2(0)pxQpA B11C2 D4【答案】C本题选择 C 选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.1已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上两
7、点， ，则 的中点到准线F24yx,MN6MFN的距离为A B232C3 D4考向二 求抛物线的标准方程1求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.p2用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例 3 若点 A,B 在抛物线 y2=2px(p0)上, O 是坐标原点,若正三角形 OAB 的面积为 4 ,则该抛物线的方程是A y2= x B y2= x3C y2=2 x D y2=
8、x3【答案】A典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程（1）过点 ； (32)，（2）焦点在直线 上240xy2顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是4，A B2yx24xyC 或 D 或2y 2y考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例 5 已知等腰三角形 OPM 中， OP MP， O 为抛物线 =2px(p0)的顶点，点 M 在抛物线的对称轴上，点2yP 在抛物线上，则点 P
9、与抛物线的焦点 F 之间的距离是A2 p B p52C2 p D p【答案】B【解析】由题意得 因此点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离为22,PPPyxpx，选 B.52Ppx【名师点睛】 （1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 （2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可3已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物2:0CxpyFCyA01,My线 上， ，则054MFtanAMA B 52C D45 4考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长
10、公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.典例 6 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1)， B(x2， y2)，若| AB|=7，求 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离. 典例 7 已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足 AFB=60,过弦 AB 的中点 H 作抛物线的准线的垂线 HN,垂足为 N,则 的取值范围为HABA(0, B ,+)3 3C1,+) D(0
11、,110若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 y2=1 的右顶点重合，则 p=_.11已知点 是抛物线 上的两点， ，点 是它的焦点，若12,9,AyB2(0)ypx210yF，则 的值为_5F12已知等腰梯形 的顶点都在抛物线 上，且 ，CD2()yxABCD2,4,，则点 到抛物线的焦点的距离是_60AA13已知抛物线 C:y2=ax(a0)的焦点为 F,点 A(0,1),射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若| FM| MN|=13,则实数 a 的值为_.14已知抛物线 的焦点为 ,准线方程是 .(1)求此抛物线的方程;(2)设点 在此抛物线上,且 ,若 为坐
12、标原点,求 的面积. OF15已知 M,N 是焦点为 F 的抛物线 上两个不同的点,线段 MN 的中点 A 的横坐标为 .20ypx 42p(1)求| MF|+|NF|的值;(2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B,求点 B 的横坐标的取值范围.16设 A,B 是抛物线 y2=2px(p0)上的两点,且满足 OA OB(O 为坐标原点).求证:(1) A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值;(2)直线 AB 经过一个定点.17已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为 6.Cy,5Pm(1)求该抛物线 的方程；(2)已知抛物线上一点 ，过点 作抛物
13、线的两条弦 和 ，且 ，判断直线4,Mt MDEM是否过定点，并说明理由.DE1 （2018 新课标 I 理）设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M， N23两点，则 =FMNA5 B6C7 D82（2016 新课标全国 I 理科）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点.已知| AB|= ，| DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为425A2 B4C6 D83（2017 新课标全国 I 理科）已知 F 为抛物线 C： 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，2yx直线 l1与 C
14、 交于 A、 B 两点，直线 l2与 C 交于 D、 E 两点，则| AB|+|DE|的最小值为A16 B14C12 D104（2016 浙江理科）若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_5（2017 新课标全国 II 理科）已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交F:C28yxCF轴于点 若 为 的中点，则 _yNMN6 （2018 新课标理）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于1，24yx： kC， 两点若 ，则 _AB90ABk7（2017 浙江）如图，已知抛物线 ，点 A ， ，抛物线上的点2xy1()24，39(
15、)，B过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q13(,)2Pxy（1）求直线 AP 斜率的取值范围；（2）求 的最大值|PAQ8（2016 新课标全国 III 理科）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 ， 分C2yxFx1l2别交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点CABPQ（1）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；FRAR（2）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程PQ AF B9（2018 新课标理）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ，24Cyx： F(0)klCA两点， B|8A（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方
16、程BC10 （2018 北京理）已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个2yP不同的交点 A， B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值QMONQ1变式拓展1【答案】C【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出 的中点的横坐标，再,MN
17、求出线段 的中点到抛物线的准线的距离 MN2 【答案】C【解析】抛物线的顶点在原点，且过点 ，4，设抛物线的标准方程为 （ ）或 （ ） ，2xpy02ypx0【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题依题意，设抛物线的标准方程为 （ ）或 （ ） ，将点2xpy02ypx0的坐标代入抛物线的标准方程，求得 即可注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点4，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项 C 符合题意.，3 【答案】C【解析】由抛物线的定义知 ，解得 ，00524pMFy02yp又点 在抛物线 上，代入 解
18、得 .01,MyCx1,过点 M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为 E,则 .tantaFAME145A故选 C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出 ，再过点 M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为 E,最后解直角三角形 AME 得01,2yp的值.tanFA4 【答案】B【解析】设过抛物线 的焦点的直线 与抛物线交于 两点，则2(0)ypxl12,AxyB，又因为以 为直径的圆的方程为 ，所以12ABxAB2236x，解得 .故选 B.1268ABxp2p【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点
19、到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. 5 【答案】D【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.考点冲关1【答案】A【解析】 抛物线的标准方程为 ，焦点在 轴上， ，即 ， ，则准线方24xy24p21p程为 .故选 A.1y【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属
20、于基础题.2 【答案】C【解析】若“ ”，则 中的 ，所以“抛物线 的焦点在 轴正半0mn2nxym020mxnyy轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线 的焦点在 轴正半轴上” ，则 中2xny2nxm的 ，即 ，则“ ”成立，故是充分必要条件.0nm0mn故答案为 C.【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.3【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为 y2=2px(p0),则 2p=8,所以抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-
21、8x.故选 C.4【答案】B【解析】 抛物线 y24 x， ，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ，即有 ， .MF42Mp3Mx故选 B.【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.5【答案】C【解析】抛物线的准线方程为 x= ，当 MQ x 轴时， |MQ|-|QF|取得最小值，此时 |MQ|-|QF|=|2+3|-12|2+ |= .156【答案】D【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出 的坐标，求出周长
22、，所以只需设出 的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.MM7 【答案】D【解析】由题意得 ，设点 的横坐标为 ，则由抛物线的定义，可得 ，则 ，1(,0)2FAm1324m1所以 ，所以 故本题选 .3,4AB 9cos04BFD8 【答案】A【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. 9【答案】D【解析】过 A,B 分别作抛物线准线的垂线 AQ,BP,垂足分别为 Q,P,设 |AF|=a,|BF|=b，则由抛物线的定义，得 |AQ|=a,|B
23、P|=b,所以 |HN|= .在 中，由余弦定理得 |AB|2=a2+b2-2abcos 60=a2+b2-ab，所 ABF以 ,因为 a+b2 ,所2222133HNababAB ba以 ,当且仅当 a=b 时等号成立,故 的取值范围为(0,1.故选 D.213abHNAB10【答案】4【解析】由双曲线 y2=1 可得 a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则 ,所以 p=4.2p11 【答案】10【解析】由抛物线的定义可得 ，依据题设可得 ，1,922ppAFB 5922pp则 （舍去负值） ，故 ，应填 .2214,4936yyy120y112【答案】73【解析】由题意可设 ，因此 ，因
24、此点,13,2AmD4233,21pmpm到抛物线的焦点的距离是 .A74p13【答案】【解析】依题意得焦点 F 的坐标为( ,0),设 M 在抛物线的准线上的射影为 K,连接 MK,由抛物线的定义知| MF|=|MK|,因为| FM| MN|=13,所以| KN| KM|=2 1,又 ,kFN=- =-2 ,014FNka所以 =2 ,解得 a= .414【解析】(1)因为抛物线的准线方程为 ，15 【解析】(1)设 ,则 ,12,MxyN128xp而 , ,12pF2p .18x(2)当 p=2 时,抛物线方程为 .24yx若直线 MN 的斜率不存在,则 B(3,0).若直线 MN 的斜率
25、存在,设 A(3,t)(t0),则由(1)知 ，整理得 ,214yx21124yx ,即 ,12124yx 2MNkt直线 ,:3Ntx B 点的横坐标为 ,2t由 消去 x 得 ,2(3)4ytx2210yt由 0 得 00)，圆的半径为 r, 分别交 轴于 点，则2yxABDEx,CF，即 点纵坐标为 ，则 点横坐标为 ，即 ，由勾股定理知|2ACA44|OCp， ，即 ，解得222|DFOr222|COr224(5)()(p，即 的焦点到准线的距离为 4，故选 B.4p【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧
26、性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.3 【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则，则 ，所以2|sinpAB22|cossin(+)pDE 2221| 4(cosincospABDE222222 211sin)4( i)4()()6icoi coi4【答案】 9【解析】 .109MMxx【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想
27、到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到 轴的距离y5 【答案】 6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作 于点 ，xFMBl于点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，NAl2x|2,|4AN在直角梯形 中，中位线 ，由抛物线的定义有： ，结ANF| 32ANFBM|3MFB合题意，有 ，故 |36【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问
28、题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化 6 【答案】2【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设 ，12,AxyB利用点差法得到 ，取 AB 中点 ,分别过点 A,B 作抛物线准线 的12124ykxy0Mxy 垂线，垂足分别为 ，由抛物线的性质得到 ，进而得到斜率.,AB12【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达 与 的长度，通过函数 求解|PA|Q3()1)(fkk的最大值|PAQ8【解析】由题可知 设 ， ，则 ，)0,21(F1:lya2:lb0a且 ， ， ， ， 2(,)aA(,)bB(,)P(,)Q1(,)2bR记过 ， 两点的直线为 ，则直线 的方程为 ll 0ayx（1）由于 在线段 上，故 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，FA01abA1kFQ2k9 【解析】 （1）由题意得 ， l 的方程为 (1,0)F(1)0ykx设 ， 2(,),AyxB由 得 24k222(4)0kx，故 2160k12x所以 1224|()()kABFx由题设知 ，解得 （舍去） ， 248kk1k因此 l 的方程为 1yx
