1、（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 的轨迹是椭圆. 这两个定12,F P点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 .12Fc定义式： .1212()PaF要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在 轴上， ；x21(0)yab焦点在 轴上， .y2()x说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 之间的大小关系和等量
2、关系：,abc.22,0,acbac三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在 轴上 焦点在 轴上x yii)几何性质标准方程范围 顶点 焦点 对称性 离心率21xyab(0)xab，(,0)(,)c椭圆 21yxab(0)yab，(0,)(,)c对称轴：轴，x轴，对y称中心：原点，01eca注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出 与 ，然后利用 计算求得离心率；或者根accea据已知条件建立关于 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程
3、或不等式，通过解方程或不等,abc式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1设椭圆 上任意一点 ，则当 时， 有最小值 b， P 点在短轴21(0)xyab,()Pxy0x |O端点处；当 时， 有最大值 a， P 点在长轴端点处|O2已知过焦点 F1的弦 AB，则 的周长为 4A2BF考向一 椭圆定义的应用1椭圆定义的集合语言: 往往是解决计算问题的关键，椭圆上的1212|,|PMFaF一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理. 以椭圆 上一点 和焦点 F1 ( c，0)， F2 (c，0)为顶点的21(0)xyab0(),Pxy0中，
4、若 ，注意以下公式的灵活运用： 12PF 12PF（1） ；12|a（2） ；221124| cos|cPF（3） . 1212sin|PFS2解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例 1 已知 F1， F2是椭圆 的两个焦点，点 P 在椭圆上2143xy（1）若点 P 到焦点 F1的距离等于 1，则点 P 到焦点 F2的距离为_；（2）过 F1作直线与椭圆交于 A， B 两点，则 的周长为_；A（3）若 ，则点 P 到焦点 F1的距离为_20【答案】 （1）3；（2）8；（3） 651已知 、 是椭圆 ： 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且
5、 ，若21(0)xyab的面积为 9，则 的值为A1 B2C3 D4考向二 求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方程为 或 .21(0)yab21(0)xab第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 ）.,abc 22cab第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所
6、设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量” ，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 .210()mxnynm ， 且典例 2 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的方程为A B14y 2164yxC 或 D 或2x2164x221yx【答案】C2已知 为椭 的两个焦点,过点 F2作椭圆的弦 AB,若 的周长为 16,12,F21(0)xyab 1AFB椭圆的离心率 ，则椭圆的方程为3eA B214xy2163xyC D216xy2164xy考向三 椭圆的几何性质及应用1与几何性质有关的问题要结合图
7、形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. 2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出 a,c，代入公式 .cea（2）只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 a,c 的齐次式，然后等式,b22ba（不等 式 ） 两 边 分 别 除 以 a 或 a2转 化 为 关 于 e 或 e2的 方 程 （ 不 等 式 ） ， 解 方 程 （ 不 等 式 ） 即 可 得 e（ e 的取 值 范 围 ） .典例 3 已知椭圆的方程为 2x23
8、 y2 m，( m0)，则此椭圆的离心率为A B13 33C D22 12【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为 1，x2m2y2m3 a2 ， b2 ，m2 m3 c2 a2 b2 ，m6 e2 ，即 e .故选 Bc2a2 13 333设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存2:1(0)xyEab1,0F1,AEE在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_P9AFE1若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是214xymymA B 02C D2 2椭圆 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m=A B14 12C2 D43 已 知 椭 圆 上
9、的 一 点 到 左 焦 点 的 距 离 为 ， 点 是 线 段 的 中 点 ， 为 坐 标 原 点 ， 则21036xy 1PFA BC D4已知椭圆 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的 倍，抛物线 的焦点与椭圆 的一个顶点重合，则椭圆 的标准方程为A B214xy2146xyC 或 D 或26214x22146xy5已知椭圆 x2+my2=1 的离心率 e( ,1),则实数 m 的取值范围是2A(0, ) B( ,+)34 34C(0, )( ,+) D( ,1)(1, )3 36对于常数 m,n,“mn0”是“方程 mx2+ny2=1 表示的曲线是椭圆”的A充分不必要条件 B必要
10、不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,右顶点到直线 x= (c 为椭圆的半焦距)的距离为 2-2xy22a,则椭圆 C 的方程为A +y2=1 B + =1 x 24xyC +y2=1 D + =14268已知椭圆 ，点 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得21(0)xab,ABP，则该椭圆的离心率的最小值为0APBA B2 32C D63 49已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边213xy上，则 的周长是A BC D10如图，椭圆 的左、右焦点分别为 点 为其上的动点，当 为钝角时，则点2
11、194xy12F、 ， P12FP的横坐标的取值范围是PA B35, 35 ,3C( D2,)5 ,311已知点 是椭圆 上一点， 是椭圆的焦点，且满足 ，则 的面积214xy 12MF为A1 B C2 D412已知 是椭圆 ： 的左焦点， 为 上一点， ，则 的最小值为F2195xyPC1,3APFA B103C D4 313已知 成等差数列， 成等比数列，则椭圆 的离心率为,mn,mn21xymnA B2 12C D3 314已知椭圆 的两个焦点是 ， ， 是椭圆上一点， ，则 的形214xy1F2M12FM12F状是A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形15已知椭圆 的短轴
12、长为 2，上顶点为 ，左顶点为 ， 分别是椭圆的左、21(0)xyabAB12,F右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为1FAB 23P12PA B,2 2,3C D4 1416设椭圆 的焦点为 , ，若 ，221()xyb12F22,0,0MNbb12MNF则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为A B21xy213xyC D2 217已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在点 P，使2xy,则该椭圆离心率的取值范围为12sinaPF21sincFA(0, -1) B( ,1) 2C(0, ) D( -1,1)2
13、218椭圆 的焦距等于_2143xy19已知椭圆的两焦点坐标分别是 、 ，并且过点 ，则该椭圆的标准方程是20， 20， 23，_20已知 F1,F2为椭圆的两个焦点,过 F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若 为正三2F角形,则椭圆的离心率为 . 21已知椭圆 的方程为 ， 、 为椭圆上的两个焦点，点 在 上且 ，则三C2168xyF2 PC123F角形 的面积为_12FP22如图, A,B 分别为椭圆 的左、右顶点,点 P 在椭圆上, 是面积为 4 的等21(0)xyabOB腰直角三角形,则 b= . 23已知 A(1,1)为椭圆 内一点， 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上一
14、动点，则 的最216xy1F1PFA大值为_.24已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过 的直线 交2:1(0)xyCab12,F32l于 两点，若 的周长为 ，则椭圆 的方程为_. ,AB1FB 43C25设椭圆 的两个焦点分别为 是椭圆上任一动点，则 的取值范围为 24xy12,FM12MF. 26求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0, -2),(0,2),经过点(4,3 );(2)对称轴为坐标轴,经过点 P(-6,0)和 Q(0,8).27已知抛物线 C： x24 y 的焦点为 F，椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 F 是它的一个顶点，且其离心率 e=
15、 ，求椭圆 E 的方程3228已知椭圆的两焦点分别为 、 ，离心率为 .10,F2,112（1）求椭圆的标准方程；（2）设点 在椭圆上，且 ，求 的值.P12P12cosFP29已知椭圆 C 的方程为 .219xyk（1）求 k 的取值范围； （2）若椭圆 C 的离心率 ，求 的值.67ek1 （2017 浙江）椭圆 的离心率是2194xyA B3 53C D2 92 （2018 新课标全国理科）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左1F221(0)xyCab： AC顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为PA3612PF 12FPA B 23C D1 43
16、（2017 新课标全国理科）已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段20)1(xyabA1A2为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为0bxyA B63 3C D2 14 （2016 新课标全国理科）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 的左焦点， A， B 分21(0)xyab别为 C 的左，右顶点. P 为 C 上一点，且 PF x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为A B13 12C D2 345 （2018 浙江）已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m1)上两点 A，
17、B 满足 =2 ，则当 m=_4xP时，点 B 横坐标的绝对值最大6 （2017 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，xOy2:1(0)xyEab1F，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点 作直线2F1P1的垂线 ，过点 作直线 的垂线 1P1l2F22l（1）求椭圆 的标准方程；E（2）若直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标1l2QEP（注：椭圆 的准线方程： ）2(0)xyab2axc变式拓展1 【答案】C2 【答案】D【解析】由椭圆的定义得 ，416a，4a又 椭圆的离心率 ，即 ，342ceac，2216ba椭圆的方程为
18、 .故选 D 24xy3 【答案】 1,5考点冲关1 【答案】B【解析】若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，214xymy04m解得 故选2 【答案】A【解析】椭圆 的标准方程为： ，21xmy21yxm椭圆 的焦点在 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，2，解得 .1m14故选 A.3 【答案】C4 【答案】D【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的 倍，即有 ，22ab又抛物线 的焦点 与椭圆 的一个顶点重合，得椭圆经过点 ，28yx,0C2,0若焦点在 轴上，则 ， ，椭圆方程为 ；a1b214xy若焦点在 轴上，则 ， ，椭圆方程为 .y2426椭圆 的标准方程为 或 故选C21xy21xy5【
19、答案】C【解析】椭圆 x2+my2=1 的标准方程为 .21yxm又 ;143当椭圆的焦点在 y 轴上时, a2= ,b2=1,则 0 .34【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标.6【答案】B【解析】由 mn0,得 或 .由方程 mx2+ny2=1 表示的曲线是椭圆,得 . 0mn故“ mn0”是“方程 mx2+ny2=1 表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.7【答案】A8 【答案】C【解析】设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得 ,即 ,120AMBP60AMO因为 ，所以tanOAbtan603,即 ，223,c
20、则 ,选 C2263,3ace9 【答案】C【解析】由椭圆 知 a= ，长轴长 2a= ，213xy设直线 BC 过椭圆的右焦点 F2，根据椭圆的定义可知：| AB|+|BF2|=2a= ，| AC|+|F2C|=2a= 三角形的周长为| AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a= 故选 C.10【答案】A则点 的横坐标的取值范围是P35,.故选 A11【答案】A【解析】因为 ,所以 ,所以 .22211|MFF由题意得 ,即 ,2|422112|6MFMF即 ,解得 .1|2|62|所以 的面积 .选 A12MF 12|S12 【答案】D【解析】设椭圆 的右焦点为 ，:C2195xyF
21、易知 ，,0,F由 ，得 ，41,3A3根据椭圆的定义可得 ，26PFa所以 .5136AAF13 【答案】A14 【答案】B【解析】由题意知 ，124MF又 ，联立后可解得 ，121253,FM ， ，1243Fc234 ， 是直角三角形故选 B21M1215 【答案】D16 【答案】A【解析】 ，24MNcb由 得 ， ，即 12F21c 的最小值为 1，即离心率最小时 ， ，c21b椭圆方程为 ，故选 A2xy17【答案】D【解析】根据正弦定理得 ,2112sinsinPFF又 ，可得 ,1221siniacPF21ac即 =e，2所以 |PF1|=e|PF2|.又 |PF1|+|PF2
22、|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|(e+1)=2a,所以 |PF2|= .ae因为 a-cb0).方法一:由椭圆的定义知, ,2222(40)(3)(40)(3)1a27 【解析】设椭圆 E 的方程为 ，半焦距为 c21(0)xyab由已知条件，得 F（0，1） ， b=1， = ，ca32结合 a2=b2+c2，解得 a=2， 3c所以椭圆 E 的方程为 214xy28 【解析】 （1）结合题意可设椭圆的方程为 .21yxab(0)由题设知 , ，c2a , .23b所求椭圆的方程为 + =1.24yx（2）由（1） ，结合椭圆的定义知 ，124PFa又 ， ， ，21PF153 ，1
23、c由余弦定理得 .2221112 5943osPF29 【解析】 （1）方程 表示椭圆，29xyk .901,5,k（2）当 9 k k1 时，依题意可知 a= ， b= ，9k1 c= ，10又 ，67cea1022.9k当 9 k k1 时，依题意可知 b= ， a= ，9k1 c= ，102又 ，67ea1028.k综上， k 的值为 2 或 8 直通高考【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.3 【答案】A【解析】以线段 为直径的圆的圆
24、心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为 ，12A(0,)ra22xya直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，整理可得0bxay 2bd，即 即 ，2322()c23ac从而 ，则椭圆的离心率 ，故选 A 2cea 6e4 【答案】A【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 的值，进而求得 的值；,ace（2）建立 的齐次等式，求得 或转化为关于 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求,abccae出 e5 【答案】【解析】设 ， ，1(,)Axy2(,)B由 得 ， ，2P12()y所以 ，123y因为 ， 在椭圆上，所以 ， ，AB214xym24xy所以 ，224(3)xy所以 ，224与 对应相减得 ， ，24xym23my221(09)44xm当且仅当 时取最大值5【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.6 【解析】 （1）设椭圆的半焦距为 C
