1、概率论与数理统计课程总结报告概率论与数理统计在日常生活中的应用姓名：学号： 专业：电子信息工程摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事
2、例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识1.1 概率的重要性质1.1.1 定义设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为 P（A） ，称为事件的概率。概率 )(AP满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 1)(0P （2）规范性：对于必然事件 S （3）可列可加性：设 n,21 是两两互不相容的事件，有 nkknkAP11)()(（ 可以取 ）1.1.2 概率的一些重要性质（i） 0)(P （ii）若
3、nA,21 是两两互不相容的事件，则有 nkknkAP11)()(（ 可以取 ）（iii）设 A，B 是两个事件若 B，则 )(BAP， (（iv）对于任意事件 A， 1)(P（v） 1)(P （逆事件的概率）（vi）对于任意事件 A，B 有 )()()( ABPP1.2 随机变量的数字特征1.2.1 数学期望设离散型随机变量 X 的分布律为 kpxP，k=1,2，若级数 1kpx绝对收敛，则称级数 1kpx的和为随机变量 X 的数学期望，记为 )(XE，即 ik)(设连续型随机变量 X 的概率密度为 )xf，若积分 dxf绝对收敛，则称积分 dxf)(的值为随机变量 X 的数学期望，记为 (
4、，即 )(定理 设 Y 是随机变量 X 的函数 Y= )g(g 是连续函数)（1）如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为 kpXPx，k=1,2，若 kkpxg1(）绝对收敛则有 )(E)(gkkpx1(）（2）如果 X 是连续型随机变量，它的分概率密度为 )(xf，若 dxfg)(绝对收敛则有 )Y(E)(gdxf)(数学期望的几个重要性质(1)设 C 是常数，则有 CE)(;(2)设 X 是随机变量，C 是常数，则有 )()(XE;(3)设 X,Y 是两个随机变量，则有 YY；(4)设 X，Y 是相互独立的随机变量，则有 )()(.1.2.2 方差定义 设 X 是一个随机变量，若 )(2
5、XE存在，则称 )(2XE为 X 的方差，记为D（x）即 D（x）= )(2E，在应用上还引入量 )(xD，记为 x，称为标准差或均方差。222)()()( EXXED方差的几个重要性质(1)设 C 是常数，则有 ,0)(CD(2)设 X 是随机变量，C 是常数，则有 )(C)(2D， D(X)(C;(3)设 X,Y 是两个随机变量，则有 EY-EYXY 特别，若X,Y 相互独立，则有 )()(XD;(4) 0)(的充要条件是 X 以概率 1 取常数 ，即 1)(XP.切比雪夫不等式：设随机变量 X 具有数学期望 2)(XE，则对于任意正数 ，不等式2-XP成立1.3 点估计1.3.1 矩估计
6、用矩法求估计很古老的估计方法，是建立在独立同分布情形下的大数定律（样本均值趋向总体平均） ，它由 K .Pearson 在 20 世纪初提出，其中心思想就是用样本矩去估计总体矩 。总体 X 分布函数的未知参数为 12(,),Tm如果总体的 k 阶原点矩12()(,),kmEk存在，我们设总体的 k 阶原点矩与它的样本的 k 阶原点矩相等 1,2,nkkiiAX即 12 1(,)(),1,nkkkmiiEAm 从上面式子可得到关于未知量 的解 2(,),2i nXi，取12(,)Tm作为 12(,)Tm的估计，就称 为 的矩估计。关键要掌握两个式子（设总体的均值为 ，方差为 2， 12,nX是来
7、自总体 X 的一个样本）：可得总体 X 的一阶，二阶原点矩为12222=E(X),(),DEX而样本的一阶，二阶原点矩为2121,nni ii iAAX由此可得到221,niiX，所以 X，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差 2S，而是 221nS，矩估计为 21()nii。当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a、涉及到矩的阶数尽量小， 对总体 X 的要求也尽量少； 比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数； b、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。矩估计的两个基本特点是 1、由于矩估计是基于经验分布函数，而
8、经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的；2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时，本质上是一种非参数方法，对已知的总体分布，它不一定是一个好的估计。1.3.2 极大似然估计极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。该方法在 1821 年由德国数学家Gauss 提出的，但并没有得到重视，在 1922 年 R.A.Fisher 再次提出，并探讨研究了它的性质。它利用总体分布函数的相关信息，克服矩估计的一些不足。总体 X 的分布律或概率密度函数为 (;),fx是未知参数，其中总体的样本是12,n，则121(;)(;,)(;)niiLxxf
9、x为 的似然函数。若统计量 2(,nXX满足条件();sup;)Lx()()(minYXY 则称 为 的极大似然估计。极大似然法有许多优良的性质：相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。可以计算一些比较复杂的点估计。尽管如此，极大似然也有它的局限性，比如说：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的，以及任何统计推断都应该依赖损失函数，但是极大似然方法没有考虑到损失函数。1.4 贝叶斯公式设 nB.,21是一系列互不相容的事件，且有i1, .2,10)(niBPi则对任一事件
10、 A，有)()(1jnjjiii ABP， .,i)(i叫先验概率，也叫边缘概率， BPi叫后验概率（ .2,1ni） 。1.5 中心极限定理1.5.1 林德伯格定理设独立随机变量 nX,21满足林德伯格条件，对于任意的正数 ,有nisxiinni dxfS12 0)(lm。其中 )fi是随机变量 i的概率密度,则当 n时,我们有 dtezZPznn21)(lim即 dtezsXznniii 211)(l 其中 z是任何实数。1.5.2 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设在独立试验序列中,事件 A 在各次试验中发生的概率为 )10( p,随机变量 nY表示事件 A 在n次试验中发生的次数 ,则有
11、 dtezpnYPzn 21)1(lim,其中 z是任何实数。1.6 随机变量及其分布1.6.1 随机变量设随机试验的样本空间为 X(e) .S是定义在样本空间 S 上的实值单值函数，称X(e)为随机变量1.6.2 离散性随机变量及其分布律(1) 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。 k)(pxXP满足如下两个条件（1） 0kp， （2） 1kP=1三种重要的离散型随机变量设离散型随机变量的分布律为 )1(KXP,其中 K=0、1，P 为 k=1 时的概率(0p1)，则称 X 服从（0-1）分布（2）伯努利实验、二项分布设实验
12、E 只有两个可能结果：A 与A，则称 E 为伯努利实验.设 1)p0(A)（ ，此时p-1)P(.将 E 独立重复的进行 n 次，则称这一串重复的独立实验为 n 重伯努利实验。2,10kqn)kX-， 满足条件（1） 0kp， （2） 1kP=1 注意到k-nqp是二项式 np）（ 的展开式中出现 kp的那一项，我们称随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布。（3）泊松分布设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2，而取各个值的概率为 ,210,k!e)X(-P其中 0是常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布记为）（1.6.3 随机变量的分布函数设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函
13、数 x-,P)x(F 称为 X 的分布函数分布函数 )()xXPF，具有以下性质)(x是一个不减函数 （2） 1)(,0)(10F， 且 （3） 是 右 连 续 的即,)(xFx1.6.4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量 X 的分布函数 F（x） ，存在非负可积函数 )(xf，使对于任意函数 x 有 ,dtf)(Fx-）（ 则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度 )(f具有以下性质，满足（1） 1)( (2),0-dxff ；（3） 21)()xdfXxP；（4）若 x在点 x 处连续，则有 )(F， xf2,
14、三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量 X 具有概率密度 ， 其 他，0a-b1)(bxxf，则成 X 在区间(a,b)上服从均匀分布.记为 ），（ baU(2)指数分布若连续性随机变量 X 的概率密度为 ， 其 他，00.e1)(x-f其中 为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布。（3）正态分布若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，） xexfx-21)(2(，服 从 参 数 为为 常 数 ， 则 称（，其 中 )0的正态分布或高斯分布，记为），（ 2N特别，当 10， 时称随机变量 X 服从标准正态分布1.6.5 随机变量的函数的分布设随机变量 X 具有概率密度 ,-)(
15、xf， 又设函数 )(xg处处可导且恒有 0)(,xg，则 Y=)(g是连续型随机变量，其概率密度为 其 他，0,)(, yhyfyfXY在日常生活中的应用中国的经济在近些年发展极为迅速，但市场难料，盲目投资也是不理性的。概率论是根据大量随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性的科学判断，对这种现象出现的可能性大小做出数量上的描述。而经济市场是一个极大的随机系统，其中许多问题都是一种随机现象，因此，完全可以用概率论的思想来对一些经济问题进行指导。2.1 在中奖问题中的应用集市上有一个人在设摊“摸彩” ，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小.形状.质量完全相同的白球 20 只，且每一个球
16、上都写有号码（1-20 号）和 1 只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交 1 元钱且在 1-20 内写一个号码，摸到红球奖 5 元，摸到号码数与你写的号码相同奖 10 元。（1） 你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。（2） 若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？分析：（1）分别求出“摸彩”者获奖 5 元和获奖 10 元的概率，即可说明；（2）求出理论上的收益与损失，再比较即可解答解答:（1）获奖 5 元的可能性和获奖 10 元的可能性同样大，P（摸到红球）=P（摸到同号球）= 201，概率相等，所以获奖 5 元的可能性和获奖 10 元的可能性同样大；（2）每次的平
17、均收益为 01（5+10）-1=-0.250，故每次平均损失 0.25 元2.2 在经济管理决策中的应用某人有一笔资金,可投入三个项目:房产 x、地产 y 和商业 z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为 10.2p, .7, 30.1p ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见下表:各种投资年收益分布表好 10.2p中 20.7p差 30.1p房产 11 3 -3地产 6 4 -1商业 10 2 -2请问:该投资者如何投资好?解 我们先考察数学期望,可知 10.23.70.14Ex；6439y；2.z；根据数学期望可知,投
18、资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险,我们再来考虑它们的方差:222140.340.7340.15.4Dx;63.9.9939y;2226z因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少 0.1万元,但风险要小一半以上。2.3 在经济损失估计中的应用随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面
19、以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布 2,N ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。仓库货物损失金额表货物损失金额(元)1000 2000 3000 5000次数 2 1 4 1解 利用矩估计法或最大似然估计法可知: , 2的矩估计量分别为 :1niiX， 221()niiX从而根据表2 中的数据可计算出: 02034501265822222165634065 0.；49.从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049. 55 元。2.4 在求解经济最大利润问题中的应用如何获得最大利
20、润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量 x (单位:吨) 服从 305， 上的均匀分布,每售出 1 吨该原料 ,公司可获利 1.5千元;若积压1 吨,则公司损失 . 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大 ?分析: 此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。解答：设公司组织该货源 a吨,则显然应该有 30a5,又记 y为在 a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即 ygx ,由题设条件知:当 xa时,则此 吨货源
21、全部售出,共获利 1.；当 时,则售出 x 吨(获利 .5) 且还有 ax吨积压(获利 0.5ax) ,所以共获利1.50.，由此得1.52 0.aXaxYg 从而得 50312xypdgxdE5030 1. .2a axdx221903a上述计算表明 yE 是 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得 , 450a吨时,能够使得期望的利润达到最大。2.5，在保险问题中的应用某保险公司有 2500 个人参加保险,每人每年付 1200 元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.002,死亡时某家属可向保险公司领得 20 万元。问：(1)保险公司亏本的概率多大？(2)保险公司一年的利润不少于 100
22、万元,200 万元的概率各位多大？解：（1）设 X 为一年内死亡的人数,则 XB(2500,0.002), 5np, 9.4qP(亏本)= )1()1()302( XPP07.93.48.9.451保险公司亏本的概率为 0.00007,几乎为零。（2） P(利润 0) )023(XP98451()P(利润 20) )203(5.9.41()5XP以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须正确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同。2.6，在疾病诊断中的应用据调查某地居民肝癌发病率为 0.0004，现用甲胎蛋白法来检查肝癌：若呈阳性表明患病，若呈
23、阴性表明未患病。假阳性（即未患病结果却呈阳性）和假阴性（即患病结果却称阴性）的概率分别为0.05 和 0.01。某人经检验结果呈阳性，他确实患肝癌的概率有多大？令 A=“被检验者患肝癌”，B=“检验结果呈阳性”则 04.)(AP 96.0)(AP 05.)(ABP 01.)(ABP 由贝叶斯公式可得P(A|B)= )()(ABPAP 05.96.)01.(4. 7860由此可见，虽然检测结果为阳性，但实际患病的可能性非常之小，这不得让我们大吃一惊。但其实仔细一想，也是能够理解的。在上述计算中，假阳性的概率并不大，即检验结果是错误的情况并不多，但肝癌的发病率更小，即绝大多数情况下不会患肝癌，这就
24、使得检验结果是错误的部分 P(A)P(B|A)相对很大，这就造成了 P(A|B)很小。但这并不能这种检测方法没有用，像我们在医院检查的时候都会有所谓的“初查” ，包括体温，心率，血压等，然后在这之后再对有患病可能性的人进行甲胎蛋白法检查，其准确率就会提高很多。2.7 在质量检测方面的应用例 6、 某糖果生产厂用自动包装机包装糖果，每包的标准重量为 10kg，每天开工后需要检验一次包装机是否工作正常，某天开工后测出的 9 包糖果的重量如下（单位： ）：102.1 ， 99.5 ， 100.5 ， 98.3 ， 99.3 ， 98.7 ， 100.5 ，101.2 ， 99.7 ， 问该包装机工作
25、是否正常？（ 5.0a，已知糖包的重量服从正态分布）解：本问题是通过样本的信息，对总体参数的检验. 转化为假设检验的概率模型 0H: 1u 1H: 0u)(/ntSXt计算得 5.t查 t分布的临界值表， 31.2)(05.gt，从而 31.205.|t. 由小概率原理可得，改包装机工作正常. 本问题对于没有学过专业知识，甚至对初学者来说，有很多表面上看到这 9 包糖果的重量竟然一包也不等于标准重量，就凭主观判断说该包装机工作不正常，这显然是错误的. 因此我们弄清楚小概率事件是非常有必要的. 2.8 概率知识证明不等式例 7、已知 20、 ，证明不等式： SinSinSin1. 分析：这道题自
26、己要考察的是三角函数，单纯的利用有限的三角函数知识实在无从下手，用微积分的知识也无法证明，但可以应用概率方法来解决. 从已知出发，有： ,10,Sini再根据事件概率的性质，把 Sin,分别取作两个相互独立事件的概率，最后应用概率加法公式即可得出我们需要证明的结果，由此在解题中起到化繁为简的作用. 证明：由 ,20,知 10,Sini；可假设 Sin,分别为两相互独立事件 BA、 的概率. 即 SinPSin)(,)(. 根据概率加法公式和独立性有 )()()( BPAPBA而 1)(0BA，得 10SiniSn即为 iSni1故原不等式得证. 通过上例应用概率论的基本概念、性质和概率模型等有关方法证明不等式，感悟数学的统一性. 总结本文通过对概率论与数理统计相关知识的介绍以及解决生活、生产中的几个实际问题，建立概率模型，培养概率论思维的能力，从中看出实际问题中的概率奥妙，消除主观认识上的一些误区，从而达到激发学生学习科学知识的兴趣、认识到学好科学知识的重要性，真正证明了科学技术是生产力的客观事实. 参考文献1 魏宗书 概率论与数理统计（第二版） 高等教育出版社，2008.4.2 韦来生 数理统计 科学出版社, 2008.23 谢兴武李宏伟主编,概率统计释难解疑M科学出版社,2007：98-1094 马丽迪，张吉龙. 概率论在经济生活中的多维应用：应用概率与数理统计，
