1、平衡树性质总结长郡中学 胡天翔目录一 前言二 平衡树的定义三 平衡树的实现四 平衡树的应用五 总结前言平衡树作为一种功能极其强大，实现较为方便，操作十分灵活的数据结构，在近几年的各级比赛中层出不穷。在动态统计一类问题中，平衡树这种数据结构，能够以普通算法成千上万倍的速度，和更少的冗余，来解决问题。在阅读了不少关于平衡树的论文，以及做了不少关于平衡树的题目之后，本人获得了不少心得，于是在这里，将平衡树最基础的一些性质和操作，进行总结。平衡树的定义平衡树来源于二叉搜索树，只是加上维护其二叉树性质（平衡）的操作后，无论是在速度还是在空间以及变成复杂度上都有了极大的优化。根据维护方式以及储存方式的不同
2、，平衡树又分为点型，线型，静态和动态。【点型与线型】这一个划分，来源于对这一棵平衡树的操作类型。点型的平衡树，其每一个节点，表示的就是离散的一个点。线型的平衡树，表示的就是一段区间。如对于序列 10，5 ，3，4，1，7 ，6，2 ，8，他的点型和线型表示分别为：【静态与动态】静态的平衡树一般存在于已经事先知道所有操作且平衡树不需要改变的情况下，可以对数据进行预处理，预先构造出平衡树，这样在之后的操作中就不需要维护平衡而减少各种复杂度。动态的平衡树则范围更广，比如维护一个支持某些操作的数据结构时，就需要一边维护这个平衡树，一边对平衡树进行求值，这个平衡树的形态，信息都处于动态的变化之中。一般的
3、维护动态点型平衡树的有 AVL，SPLAY，SBT 等几种维护方式。静态的线性平衡树被称为线段树。【信息】平衡树之所以快速，是因为在每一棵子树的根节点处保存信息，这样在对于每一次的询问或者修改时，不必完全下到每一个叶子节点，只需要从根节点处读取信息，或在根节点处标记信息即可。信息又分为两种，区间信息和标记信息。【区间信息】区间信息是用于保存这棵子树的信息的，一般有区间和，区间最大值，区间结点个数，区间深度等等。保存这些信息，有利于减少重复计算，使得在需要这些信息的时候无需下到下面的节点，而直接就在这个节点获取信息。区间信息一般是从子节点更新上来的，或者是根据这一次的操作直接修改。【标记信息】标
4、记信息是用于记录这一棵子树的修改信息的，如区间所有数是否加上了一个同一个值，是否都修改成了同一个值。保存这些信息就使得在修改一段区间的值时，不需要把每一个节点的值都修改，只需记录根节点上，有需要时再下放标记即可。【下放标记】标记信息大多数情况不能永远保存在根节点，在对根节点所对应的一段区间中的一部分子区间进行修改时，就需要现将根节点的标记信息下放，才能进行下一步的标记和修改。但是在平衡树是静态的，而且不下放标记不会对询问造成影响的情况下，是可以将标记信息保存在根节点的。【修改与求值】修改是对应于点和线的，对于点型的修改，只需在整棵平衡树中找到这个点的位置，进行修改，并将一路上的信息一并更新即可
5、。线性的修改，基本如此，只是在线段跨越两个子树的时候分为两个过程，分别修改即可。求值一般是对应于线的，且求值与修改基本无异，递归找到最基本的线段，在返回的路上一层层合并更新，就可以得到最终的值。平衡树的实现如前面所述，平衡树基于普通的二叉搜索树，对于普通的二叉搜索树的介绍，这里省去不说。【平衡树的存储】类似于树的存储，大多数时候建议使用虚二叉树，即编号为 T 的根节点，其左子树的边号为 T*2，右子树的边号为 T*2+1.【平衡树的操作】平衡树有两种基本操作，修改与求值，在上一篇说过一些，在这里介绍其基本结构。Function 处理(T)BeginIf 操作的区间完全覆盖 T 的区间 Then
6、 Begin 修改 T 的区间信息修改 T 的标记信息EndElse Begin将标记下放处理 T 的左子树处理 T 的右子树更新 T 的区间信息EndEnd根据实际需要，可以适当的添删操作。【平衡树的维护】对于平衡树，我们会采取一些方法，利用一些关键字，使得平衡树保持“平衡”的性质。【为什么要维护】不难发现，对于平衡树的每一个操作，其时间复杂度就是每一次的深度，所以，顾名思义， “平衡”就是指左右子树基本一致，这样就能使平衡树更大程度的接近于一个完全二叉树，从而使得树的平均深度最短。【如何维护】这里只简单的介绍一下最为简单的一种平衡树AVL。AVL 是以树深度个数为关键字，要求左右子树深度相
7、差不能超过 1，来维持这棵 AVL的性质。其主要操作就是旋转操作。通过旋转某一个节点，使得左右子树的深度发生变化。【单旋转】这是 left-rotate(a);Function updata(t:longint);BeginSt:=sleftt+srightt+1;Deept:=max(deepleftt,deeprightt)+1;Exit(deepleftt-deeprightt);End;Function left-rotate(t:longint);VarK:longint;BeginK:=rightt;Rightt:=leftk;Leftk:=t;Updata(t);Updata(k
8、);Exit(t);End;Right-rotate 与之成镜像。【双旋转】【Maintain（保持） 】由上面的单旋转和双旋转，可以得到关键的 Maintain 过程；Function maintain(t:longint):longint;VarKk:longint;BeginKk:=updata(t);If kk0 then rightt:=right-rotate(rightt);T:=left-rotate(t);EndElse If kk1 then beginIf updata(leftt)0) and (k=sumleftt+1) then break elsebeginans
9、:=ans+sumleftt+1;k:=k-sumleftt-1;if k=0 then k:=1;t:=rightt;end;exit(ans+sumleftt);end;而剩下的其他操作，就是属于基本操作的范围，比较简单了。5. Near伸展树的练习题。询问第 I 个节点时，将第 I 个节点提到根，然后答案就是左子树的最大值或者是右子树的最小值。针对求最大最小值的操作，可以零时按照关键字大小去找，也可以加上两维区间信息，直接调用即可。6. Editor和第三题一样的，光标的具体位置并没有必要放入子树，只需要另开一个变量保存即可。因为这道题目是针对一段一段的进行操作，所以使用 Splay 要
10、十分的快捷方便。以删除操作为例：伪代码：Function delete(p:longint);BeginRoot:=splay(root,p-1);Rightroot:=splay(root,p+1);Leftrightroot:=空更新 rightroot;更新 rootEnd;这就是 Splay 非常巧妙方便的删除操作。7. Sequence同上一题很像，使用 Splay 可以轻松解决。这上面的 7 道题都是各种动态的平衡树，讲究维护树的性质，但是还有一种题目是不需要动态平衡树的，这时使用静态的平衡树线段树，程序就会显得更加简洁优美，时间复杂度也会相应的降低，还可以解决很多点型平衡树解决不
11、了的问题。8. simple最简单的一维线段树。9. Phone二维线段树，因为是点修改，而且具有可减性，所以写成二维树状数组的形式。10. matrix二维线段树，这回是线修改，所以必须写二维线段树，需要注意的是，对于第一维线段树，因为它是由一维线段树拓展而来的，所以它的区间信息和标记信息都要是一个一维线段树，特别是标记信息，它和区间信息是一样的，所以也必须要是一维线段树。11. Rank12. Necklace这两道题目比较有难度，本人水平过低而只知如何做无法说清楚，所以请看原论文。总结平衡树是很重要的数据结构，其思想和灵活的处理可以运用在不少的地方，掌握好平衡树，对于信息学的学习无疑是一件十分重要的事情。平衡树的模型一般不会隐藏的太深，但是它所有难度的是，对于区间信息和标记信息的构造和利用，只要熟练的掌握了区间信息、标记信息的用法，能够灵活的构造它们，那么平衡树将不会是一个难点。平衡树到如今还在不断的更新变化中，通过对平衡树的编写，我也有了很多的关于平衡树问题的心得，所以我现在对于平衡树问题也是轻车熟路。只是从 10 道例题中的最后一道，我也发现，考试时往往不会只靠单纯的某一种算法，还是会加上不少别的东西，关键的就是你能不能看出来，而且想到便捷的方法解决了。
