1、3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域,二元一次不等式,x+y500, x2y70, x0, y0,含有两个未知数,且未知数的最高次数为1,我们称这样的不等式为二元一次不等式.,二元一次不等式组,有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。,二元一次不等式(组)的解集: 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序实数对(x,y),所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。,二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数对就可以看成是平面内点的坐
2、标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。,二元一次不等式的一般形式为Ax+By+C0 或 Ax+By+C0,,现在我们来探求二元一次不等式解集的几何意义。,已知直线l:Ax+By+C=0,它把平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面与l的并集叫做闭半平面。,不等式的解(x,y)为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的平面区域或不等式的图象。,我们如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域呢?,直角坐标平面内直线l的一般形式的方程为Ax+By+C=0, ,根据直线方程的意义,凡在l上的点的坐标都满足方程,而不在直线l上的点的坐标都不满足方程。,直线
3、l把坐标平面内不在l上的点分为两部分,一部分在l的一侧,另一部分在l的另一侧,我们用下面的例子来讨论在直线的两侧点的坐标,所应满足的条件。,在直角坐标系xOy中,作直线l:x+y1=0。,由直线的方程的意义可知,直线l上点的坐标都满足l的方程,并且在直线l外的点的坐标都不满足l的方程。,在直线l的上方和下方取一些点:,上方:(0,2),(1,3),(0,5),(2,2);,下方:(1,0), (0,0), (0,2), (1,1),把它们的坐标分别代入式子x+y1中,我们发现,在l上方的点的坐标使式子的值都大于0,在l下方的点的坐标使式子的值都小于0。,这使我们猜想:l同侧的点的坐标是否使式子
4、x+y1的值具有相同的符号?要么都大于零,要么都小于零。,事实上,不仅对这个具体的例子有此性质,而且对坐标平面内的任意一条直线都有此性质.,性质:,直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,直线l同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号相反,一侧都大于零,另一侧都小于零。,例1.若点(1,3), (-4,2)在直线2x+y+m=0的两侧, 求实数m的取值范围;,练习1.若点(3,1), (-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧, 求实数m的取值范围;,练习2.若点(a,6), (2,a)在直线2x-3y+4=
5、0的同侧, 求实数a的取值范围;,例2画出下面二元一次不等式表示的平面区域: (1)2xy30; (2)3x+2y60.,解:(1)所求的平面区域不包括直线,用虚线画直线l:2xy3=0,,将原点坐标(0,0)代入2xy3,得2003=30,,这样,就可以判定不等式2xy30所表示的区域与原点位于直线2xy3=0的异侧,即不包含原点的那一侧。,(2)画出3x+2y60的平面区域.,解:(2)所求的平面区域包括直线,用实线画直线l:3x+2y6=0,,将原点坐标(0,0)代入3x+2y6,得30+206=60,,这样,就可以判定不等式3x+2y60所表示的区域与原点位于直线 2xy3=0的同侧,
6、即包含原点的那一侧(包含直线l)。,练习: 1.3x+2y-50;,例3画出下列不等式组所表示的平面区域:,(1),解:(1)在同一个直角坐标系中, 作出直线2xy+1=0(虚线),x+y1=0(实线)。,用例1的选点方法,分别作出不等式2xy+10,x+y10所表示的平面区域,,则它们的交集就是已知不等式组所表示的区域。,(2),解:(2)在同一个直角坐标系中,作出直线2x3y+2=0(虚线),2y+1=0(实线),x3=0(实线),用例1的选点方法,分别作出不等式2x3y+20,2y+10,x30 所表示的平面区域,,则它们的交集就是已知不等式组所表示的区域。,练习: 1. x+y-20;
7、x-y+20;x2;2. x-2y+70;4x-3y-120;x+2y-32;,练习: 3,(1,5),(2,1),(5,3),例3一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料需用的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨,生产1车皮乙种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨,现有库存磷酸盐10吨,硝酸盐66吨。如果在此基础上进行生产,设x,y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,请列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。,解:设x,y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则x,y所满足的数学关系式为,分别画出不等式组中,各不等式所表示的区域.,然后取交集,就是不等式组所表示的区域。,练习: 1. 画出下列不等式表示的平面区域: (1)2x3y60 (2)2x5y10 (3)4x3y12,2:画出下面不等式组所表示的平面区域,所以,不等式组表示的区域如上图所示.,x+y=0,x=3,x-y+5=0,解:依次画出三个不等式 xy+50, x+y0, x3所表示的平面区域,