1、二面角的求法(总结),例：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,F,A1,D1,C1,C,B1,B,D,A,P,F,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB,又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故 DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB；又因为是直棱柱，DD1 PB,
2、 PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1, DBD1=450。即为所求.解毕。,解法一：,A1,D1,C1,B1,F,A,D,C,B,P,E,解法二：,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EFPB, AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又AF= 1, AEF=450，即为所求。,思考：这种解法
3、同解法一有什么异同？,解法三：,法向量法：建系如图： 设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， ，0） F（-1， ，1） =（-2，0 ，1） =（1， ，-2） 显然， 就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量 =(x0,y0,z0)。则 且 2x0+ 0y0-z0=0且x0+ y0-2z0=0 令x0=1可得z0= 2 , y0= , 即 =（ 1， ，2） 设所求二面角的平面角为，则COS = = ,所以所求二面角大小为450 解毕,A1,D1,C1,B1,A,B,C,D,x,y,z,F,解法四：,A1,D1,C1,B1,F,C,
4、B,D,A,如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ， BFD1在底面上的射影三角形就是ABD, 故由射影面积关系可得COS= ABDB1 （是所求二面角的平面角） 以下求面积略。,点评：这种解法叫做“射影面积法” 在选择和填空题中有时候用起来会很好,二面角的几种主要常用的求法： 1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。,试一试：例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面AB
5、C，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。,S,A,E,C,B,D,请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：,分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直； 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。,解：如图：SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD; 于是SB= = a 又BC= a ， SB=BC;E为SC的中点，BESC又DESC 故SC平面BDE 可得BDSC 又BDSA BD平面SACCDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = a在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ，CDE=900-SCA=600解毕。,S,E,C,A,B,D,
