1、1.2.2 空间中的平行关系,第一课时 平行直线、直线与平面平行,1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线线平行、线面平行的相关公理、定理及性质. 2.理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理. 3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.,1,2,3,4,1.平行直线 (1)平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 上述基本性质通常又叫空间平行线的传递性. (3)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.,1,2,3,4,【做一做
2、1】 若AOB=A1O1B1,且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( ) A.OBO1B1且方向相同 B.OBO1B1 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 答案：D,1,2,3,4,2.空间四边形,1,2,3,4,【做一做2】 在空间中,下列说法正确的个数为( ) 有两组对边相等的四边形是平行四边形;四边相等的四边形是菱形;平行于同一直线的两直线平行;有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. A.1 B.2 C.3 D.4 解析：有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形,可能是空间四边形,故不正确,同理,也可能是空间四边形,只有正确. 答案：B
3、,1,2,3,4,3.直线与平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:,1,2,3,4,名师点拨 1.若直线与平面内的无数多条直线平行,也不能认为直线与平面一定平行,如:直线在平面内,与之平行的直线也有无数条. 2.直线与平面不相交和直线与平面没有公共点是不一样的,前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况,而后者仅指直线与平面平行.,1,2,3,4,【做一做3-1】 如果两直线ab,且a平面,那么b与的位置关系是( ) A.相交 B.b C.b D.b或b 解析：b能满足ab,且a平面; b也能满足ab,且a平面. 答案：D 【做一做3-2】 过平面外一点可以作 条直线
4、与已知平面平行. 答案：无数,1,2,3,4,4.直线与平面平行的判定和性质定理 (1)判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. (2)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.,1,2,3,4,【做一做4-1】 已知ABC,DBC分别在平面,内,EAB,且不与A,B重合,FAC,且不与A,C重合,MDB,NDC,且EFMN,则EF与BC的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交或平行 C.平行或异面 D.平行或异面或相交,解析：如图所示,因为EFMN, 所以EF平面BCD. 又因为
5、EF平面ABC, 平面ABC平面BCD=BC, 所以EFBC.,答案：A,1,2,3,4,【做一做4-2】 P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,则直线PC和平面BDQ的位置关系为 . 解析：连接AC,交BD于点O,可证得PCOQ. 又因为PC平面BDQ,OQ平面BDQ, 所以PC平面BDQ. 答案：PC平面BDQ,1,2,1.一条直线与一个平面平行,探讨这条直线与这个平面中直线的关系剖析：一条直线与一个平面平行,它可以与平面内的无数条直线平行,这无数条直线是一组平行线.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为A1C1AC,1,2,所以A1C1平面ABCD.在平面AB
6、CD内所有与AC平行的直线,由基本性质4知都应与A1C1平行,这样的直线显然有无数多条,但直线A1C1并不是和这个面内的所有直线都平行,在平面ABCD中,所有与AC相交的直线与A1C1的位置关系都是异面.由此说明:直线与平面平行可得直线与平面无公共点,则直线与平面内的任意直线都无公共点,则直线与平面内的直线有且仅有两种位置关系:平行和异面.,1,2,2.教材中的“思考与讨论” 空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且对应边的方向都相反,那么这两个角的大小关系如何?如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,这两个角的大小关系又如何?叙述你得到的结论,并说明理由. 剖析：由已
7、知可得如下结论: 结论1:空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且对应边的方向都相反,那么这两个角相等. 结论2:空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这两个角互补.,1,2,证明:对于结论1:如图,延长CA到点C2,延长BA到点B2.因为BAB1A1,所以B1A1AB2,同理A1C1AC2. 易知BAC=C2AB2,且AB与AB2,AC与AC2方向相反,可知AB2与A1B1,AC2与A1C1方向相同,由等角定理可知,B2AC2=B1A1C1.从而有BAC=B1A1C1. 所以结论1是成立的.,1,2,对于结论
8、2,如图,AC与A1C1平行且方向相同,AB与A1B1平行且方向相反,延长BA到B2,就有AB2A1B1,且AB2与A1B1方向相同.由等角定理可知B2AC=B1A1C1,由于B2AC+BAC=180, 所以BAC与B1A1C1互补.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,基本性质4的应用,【例1】 如图,已知E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G,H分别是边CD与AD上靠近点D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.分析：要证明四边形EFGH是梯形,需证明一组对边平行且不相等即可.通过本题条件可知,利用平面的基本性质4即可解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思
9、 证明空间两直线平行,可寻找第三条直线,使之与这两条直线分别平行,利用基本性质4可证.除此之外,我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】 如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形; (2)若四边形EFGH是矩形,求证:ACBD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明(1)如题图,在ABD中, EH是ABD的中位线, EHBD,EH= BD. 又FG是CBD的中位线, FGBD,FG= BD. FGEH. E,F,G,H四点共面.又FG=EH, 四边形EF
10、GH是平行四边形. (2)由(1)知EHBD,同理ACGH. 四边形EFGH是矩形, EHGH.ACBD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,等角定理的应用,【例2】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点. 求证:BEC=B1E1C1. 分析：欲证明两个角相等,可运用等角定理来解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明如图,连接EE1.所以四边形BB1E1E是平行四边形. 所以EBE1B1.同理,ECE1C1. 又因为BEC与B1E1C1的两边的方向相同, 所以BEC=B1E1C1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思 空间两角的
11、两边分别平行,若两边的方向都相同(或相反),则两角相等;若一边方向相同,另一边方向相反,则两角互补.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,所以EFBC.同理EGBD,GFDC. 又GEF与DBC的两组对边方向分别相同, GEF=DBC.同理EGF=BDC.故EFGBCD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,线面平行的判定定理的应用,【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AD1与BD的中点.求证:MN平面CC1D1D. 分析：证明MN平面CC1D1D的关键是在平面CC1D1D中找到一条直线与MN平行,一方面可以通过三角形的中位线,另一方面也可通过平行四边形的
12、对边平行等性质进行证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明(方法一)连接AC,CD1(如图),因为N是BD的中点, 所以N也是AC的中点. 又因为M是AD1的中点,所以MN是ACD1的中位线. 因此MNCD1, 因为MN平面CC1D1D,CD1平面CC1D1D, 所以MN平面CC1D1D.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(方法二)取D1D的中点E,DC的中点F, 连接ME,NF,EF(如图). 因为M,E分别是AD1,DD1的中点, 所以ME是D1AD的中位线,故四边形MNFE是平行四边形. 因此MNEF, 又MN平面CC1D1D,EF平面CC1D1D, 所以MN平面CC
13、1D1D.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思 1.直线与平面平行的判定定理的应用步骤其中,在平面内的直线是关键,它要么是已经存在,需要被发现或找到,要么是在图形中还未出现,需要作出. 2.注意中点的应用 证明线面平行问题,条件常常与中点有关,在题目中出现中点时,常见的证线线平行的两种途径: (1)中位线线线平行; (2)平行四边形线线平行.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点.求证:EF平面BB1D1D. 分析：解答本题可先在平面BB1D1D内寻求一条与EF平行的直线,再根据线面平行
14、的判定定理证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明分别过E,F作BD,B1D1的垂线,垂足为E1,F1,连接E1F1.所以四边形EE1F1F为平行四边形,所以EFE1F1. 又EF平面BB1D1D,E1F1平面BB1D1D, 所以EF平面BB1D1D.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,线面平行性质定理的应用,【例4】 如图,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证:AB平面EFGH,CD平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围. 分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明;(2)利用相似性质来求边长
15、.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)证明因为四边形EFGH为平行四边形,所以EFHG. 因为HG平面ABD,所以EF平面ABD. 因为EF平面ABC,平面ABD平面ABC=AB,所以EFAB. 又因为EF平面EFGH,AB平面EFGH, 所以AB平面EFGH.同理,CD平面EFGH. (2)解设EF=x(0x4),又因为0x4,所以8l12, 即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思 判定与性质定理常常交替使用:先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称为平行链,如下:,题型一,
16、题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证明连接AC交BD于点O,连接MO,四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点. 又M是PC的中点,APOM. 又OM平面BMD,AP平面BMD, AP平面BMD. 平面PAHG平面BMD=GH,AP平面PAHG, APGH.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,易错辨析,易错点:线面平行的判定与性质定理应用不当致错 【例5】 平面外的两条平行直线中的
17、一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面. 已知:直线ab,a平面,a,b.求证:b. 错解:因为直线ab, 所以a与b无公共点. 又因为a平面, 所以a与平面也无公共点, 又因为b, 所以b与无公共点,所以b.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,错因分析：b包含b和b=M两种情况,上面证明误认为b即b而致错. 正解:如图,过a及平面内一点A作平面,设=c. 因为a,所以ac. 因为ab,所以bc. 因为b,c, 所以b.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思 已知条件中有a,为了利用直线和平面平行的性质定理,因此过a作平面与相交,这里我们把平面称为辅助平面,它可以起到
18、桥梁作用,作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段.,1,2,3,4,5,1已知下列叙述: 如果一条直线和另一条直线平行,那么它就和经过另一条直线的任何平面平行; 若一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行; 若直线l与平面不平行,则l与内任一直线都不平行; 与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行. 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如果一条直线和另一条直线平行,那么它就在经过这两条直线的平面内,错;一条直线平行于一个平面,这个平面内的直线可能与它异面,错;对于,直线有可能在平面内.
19、答案：A,1,2,3,4,5,2若直线a,b都和平面平行,则直线a,b的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.以上三者都有可能 答案：D,1,2,3,4,5,3根据下列条件,能得到直线a平面的是( ) A.a B.ab,b C.a与平面没有公共点 D.a上有不同的两点到平面的距离相等 答案：C,1,2,3,4,5,4如图,点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点,若AC=BD,则四边形EFGH是 ( )A.菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形,1,2,3,4,5,解析：因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF是ABC的中位线,所以四边形EFGH是平行四边形, 又AC=BD,所以EF=EH. 于是四边形EFGH是菱形.,答案：A,1,2,3,4,5,5如图,在正方形ADEF与梯形ABCD中,ADCD,ABCD,且AB=2,CD=4,M为CE的中点.求证:BM平面ADEF.,1,2,3,4,5,证明取DE中点N,连接MN,AN,在EDC中,M,N分别为EC,ED的所以MNAB,且MN=AB. 所以四边形ABMN为平行四边形.所以BMAN. 又因为AN平面ADEF,且BM平面ADEF, 所以BM平面ADEF.,
