1、3.1.2 数学归纳法应用举例,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:,【归纳奠基】,（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确,（2）假设n=k(kn0,nN*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确,（3）由（1）、（2）得出结论,【归纳递推】,注 意：,1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k1中间的变化。,(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.,例1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少?,答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为n=5.,一、证明中需要注意的问题,例2:用数学
2、归纳法证明3nn2.,此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3kk2成立的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k2.故在证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.,例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.,(3)在证明n=k+1命题成立用
3、到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.,1.已知: ,则 等于( )A: B: C: D:,C,练习：,分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。,有几项？,是什么,它比,多出了多少，是首要问题。,例3对于nN*用数学归纳法证明：,事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4kf(k+1)=f(k)+1+2+3+k,证明：设f(n)= (1)当n1时，左边1，右边1，等式成立,由（1）（2）可知当nN*时等式都成立。,练习:用数学归纳法证明: (n
4、+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1),数学归纳法证明几何问题.,例4:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.,f(1)=0,f(2)=1=f(1)+1,f(3)=3=f(2)+2,f(4)=6=f(3)+3,f(k),f(k+1)=f(k)+k,证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.,(2)假设当n=k(k2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.,以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条
5、直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.,另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必 与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.,又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的 k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同.,从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2=(k+1)-1(k+1)/2.,这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.,根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都 成立.,说明:用数学归纳法证明几何问题,难点是处
6、理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.,练习：平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.,小结:,1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注意不要滥用. 并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。 2.掌握数学归纳法的实质与步骤,3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.,归纳小结，自我整合, 激升思维,思考：数列an中前n项和Sn 与an满足 Sn1nan，试求an的通项,更多资源,由于
7、数学归纳法是证明与正整数有关的命题，数列是以正整数为定义域的特殊函数，而导数又是研究函数的重要工具，正是这一条知识链注定了数学归纳法必然以数列为背景。深入细致的研究近年来的高考试题，就会印证以上事实。纵观近几年与数学归纳法相关的高考试题，不难得出其命题特点： 很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在体现它的工具性作用。且常与数列结合去考查，有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以体现“在知识交汇处设计试题”的命题原则。 试题特别注重加强对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，希望引起大家足够的重视。 高考对数学归纳法主要是隐形考查，也就是说这种方法在题目中往往是“藏而不露”，不明着说要用“数归法”，也就是可用“数归法”，也可用其他方法来解决（当然能找到其他解决方法的话）。,
