1、3.2.3 直线的一般式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的一般式方程 1,2,3,8平行与垂直 4,5,6,9一般式方程的综合应用 7,10,11,12,131.已知直线 l 的方程为 x- y+2=0,则直线 l 的倾斜角为( A )(A)30 (B)45 (C)60 (D)150解析:设直线 l 的倾斜角为 ,则 tan = ,则 =30.2.(2018陕西延安期末)如果 AB0,- 0,所以直线过第一、二、三象限,不过第四象限.故选D.3.已知 m0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C) (D)-解析:由题意,得 a-3
2、m+2a=0,所以 a=m,又因为 m0,所以直线ax+3my+2a=0 的斜率 k=- =- .故选 D.4.(2018郑州调研)直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则 m 等于( C )(A)2 (B)-3(C)2 或-3 (D)-2 或-3解析:直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则有 = ,故m=2 或-3.故选 C.5.(2018河南南阳期末)两条直线 l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2 互相垂直,则 a 的值是( C )(A)3 (B)-1(C)-1 或 3 (D)0 或 3解析:因为
3、两条直线 l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2 互相垂直,所以 a(a+1)+(1+a)(3-2a)=0,解得 a=-1 或 a=3.所以 a 的值是-1 或 3.故选 C.6.(2018辽宁大连期末)已知直线 l 经过点 P(-2,5),且与直线4x+3y+2=0 平行,则直线 l 的方程为 . 解析:设直线 l 的方程为:4x+3y+m=0,把点 P(-2,5)代入可得:-8+15+m=0,解得 m=-7.所以直线 l 的方程为 4x+3y-7=0.答案:4x+3y-7=07.若直线(2t-3)x+y+6=0 不经过第一象限,则 t 的取值范围为 . 解析:
4、方程可化为 y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以 3-2t0,得 t .答案:8.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;(2)经过两点 A(0,4)和 B(4,0);(3)经过点(2,-4)且与直线 3x-4y+5=0 平行;(4)经过点(3,2),且垂直于直线 6x-8y+3=0.解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为y-3=-3(x+1),即 y-3=-3x-3,整理得其一般式为 3x+y=0.(2)根据条件,写出该直线的截距式为 + =1,整理得其一般式为 x+y-4=0.(3)设与直线 3x-4y+5=0 平行的直线为 3
5、x-4y+c=0,将点(2,-4)代入得 6+16+c=0,所以 c=-22.故所求直线的一般式为 3x-4y-22=0.(4)设与直线 6x-8y+3=0 垂直的直线为 8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.从而得 8x+6y-36=0,即所求直线的一般式为 4x+3y-18=0.9.若直线 l1:ax+(1-a)y=3 与 l2:(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,则 a 的值为( D )(A)-3 (B)1(C)0 或- (D)1 或-3解析:因为 l1l 2,所以 a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即 a2+2a-3=0,故 a=1 或-
6、3.选 D.10.(2018辽宁沈阳期末)光线沿着直线 y=-3x+b 射到直线 x+y=0 上,经反射后沿着直线 y=ax+2 射出,则有( B )(A)a= ,b=6 (B)a=- ,b=-6(C)a=3,b=- (D)a=-3,b=解析:在直线 y=-3x+b 上任意取一点 A(1,b-3),则点 A 关于直线 x+y=0 的对称点 B(-b+3,-1)在直线 y=ax+2 上,故有-1=a(-b+3)+2,即-1=-ab+3a+2,所以 ab=3a+3,结合所给的选项,故选 B.11.已知两条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都通过 A(2,1),则过两点 P1
7、(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为 . 解析:由题意得所以(a 1,b1),(a2,b2)都在直线 2x+y+1=0 上,又两点确定一条直线,所以所求直线的方程为 2x+y+1=0.答案:2x+y+1=012.已知直线 l1的方程为 3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.(1)l1与 l2平行且 l2过点(-1,3);(2)l1与 l2垂直,且 l2与两坐标轴围成的三角形面积为 4.解:(1)设 l2的方程为 3x+4y+m=0(m-12),又直线 l2过点(-1,3),故 3(-1)+43+m=0,解得 m=-9,故直线 l2的方程为 3x+4y-9=
8、0.(2)因为 l1l 2,所以直线 l2的斜率 k2= .设 l2的方程为 y= x+b,则直线 l2与两坐标轴的交点是(0,b),(- b,0),所以 S= |b|- b|=4,所以 b= ,所以直线 l2的方程是 y= x+ 或 y= x- .13.直线过点 P( ,2),且与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,O 为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足下列条件: AOB 的周长为 12;AOB 的面积为 6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解:设所求的直线方程为 + =1(a0,b0).由已知,得由解得 或经验证,只有 满足式.所以存在直线满足题意,其方程为 + =1,即 3x+4y-12=0.
