1、1,线 性 代 数 电子教案之六,2,第六讲 矩阵的秩,主要内容,矩阵的秩的概念；,初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵的秩的求法；,矩阵的秩的基本性质.,基本要求,理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理；,掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；,知道矩阵的标准形与秩的联系；,知道矩阵的秩的基本性质.,3,第三节 矩阵的秩,一、概念的引入,用初等变换把矩阵 化为标准形.,解,4,问题: 在 的标准形中，左上角的单位矩阵的阶数是否唯一呢？,在第一节中，已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的，完全由 确定. 这个数也就是 的行阶梯形中非零行的行数，这个便是矩阵 的秩.,5,
2、二、子式,定义,在 矩阵 中，任取 行与 列 ， 位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式.,例如,是 的一个2阶 子式， 的2阶子 式共有 个.,一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个.,6,三、矩阵的秩,定义,设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作 或 .,规定：零矩阵的秩等于0.,例1 求矩阵 和 的秩.,7,在 中，容易看出一个2阶 子式,的3阶子式只有一个,因此,因此,这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式,8,说明,根据行列式
3、的展开法则知，在 中当所有 阶 子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为零， 因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；,矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；,当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则,当矩阵 中所有 阶子式都为0，则,9,矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.,对于 阶矩阵 ，当 时， 称为满秩 矩阵；否则称为降秩矩阵.,由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个 ，当时， 所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.,10,四、矩阵的秩的计算,定理
4、3,若 ，则,即两个等价矩阵的秩相等.,说明,根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.,证明,11,解,析：根据定理3，为求 的秩，只需将 化为 行阶梯形矩阵.,12,所以,大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换,13,再求 的一个最高阶非零子式.,因此,在 中,找一个3阶非零子式是比较 容易的，另外注意到， 的子式都是 的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式,14,说明,最高阶非零子式一般是不唯一的.,上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.,15,解,析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数 的值的题目
5、.一般有两个途径，一是利用行列 式，二是用初等变换.当 时， 的3阶 子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面 用初等变换解答此题.,16,因为 ，故,即,说明,此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.,17,解,析：此题中矩阵 的前4列与 的列相同，如 果用初等行变换将 化为行阶梯形 ， 则 就是 的行阶梯形，故从 中可同时看出及,18,由此可见，,19,注：,把此题中的 看作方程组的系数矩阵， 看作常数项列，则 就是增广矩阵，由 的行阶梯形矩阵知，这个方程组 无解，因为行阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程,20,五、矩阵的秩的性质,若 为 矩阵，则,特别
6、地，当为列向量时，有,即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 超过所有子块的秩之和.,证明,21,矩阵的秩的性质,证明,（下章例13）,22,关于矩阵的秩的性质的证明题,例5 设 为 阶矩阵，证明,证,因为,由性质6，有,23,例6 设 为 矩阵， 为 矩阵，证明,证,根据性质7，有,而 为 阶矩阵，所以,关于矩阵的秩的性质的证明题,24,例7 证明 的充分必要条件是存在非零 列向量 和非零行向量 ，使,证,充分性：,根据矩阵的秩的性质7，由 有,另一方面， 与 都非零，不妨设,则 的 元 有 于是,关于矩阵的秩的性质的证明题,25,必要性：,因为,根据矩阵等价理论知，存在可逆矩阵 和可逆
7、矩阵 ，使,于是,关于矩阵的秩的性质的证明题,26,向量和非零行向量.,关于矩阵的秩的性质的证明题,27,六、小结,矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数定义的；,矩阵的秩的求法：,根据定义，求最高阶非零子式的阶数，,根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩阵的行数就是矩阵的秩；,矩阵的秩的性质.,可逆矩阵的特征刻画：,阶矩阵 可逆,28,29,作业：,P79 9.(2)(3) P80 11.,30,定理3的证明,证,先证明：若 经过一次初等行变换变为 ， 则,设 ，且 的某个 阶子式,下面分3种情况证明，,在 中总能找到与 相对应,的 阶子式 ，且,由于,
8、因此,从而,31,32,在 中总能找到与 相对应,的 阶子式 ，且,由于,因此,从而,由于对于变换 时结,1) 的 阶非零子式 不包含 的第1行，这时也是 的 阶非零子式，故,2) 的 阶非零子式 不包含 的第1行，,这时把 中与 对应的 阶子式 记作,33,若 ，则 ；,若 ，则 也是,的 阶子式，由 ，知 与 不同时为0，总之， 中存在 阶非零子式 或 ，故,以上证明了若 经过一次初等行变换变为 ， 则,34,由于 亦可经过一次初等行变换变为 ，故 也有 因此,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知 经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.,对于初等列变换的情形，,设 经初等列变换变为 ，则 经初等行变 换变为 ，由以上证明知,又,因此,总之，若 经有限次初等变换变为 ，则,35,矩阵秩的性质的证明,证,因为 的最高阶非零子式总是 的非零 子式，所以,同理有,两式和起来即为,下证另一个不等号，设,则 和 的列阶梯形中分别含有 个和 个非零列，设为,用初等列变换分别把 和 化为列阶梯形 和 ，,36,从而,由于 中只含 个非零列，因此，,即,矩阵秩的性质的证明,37,证,设,则,于是,因此,矩阵秩的性质的证明,
