1、线 性 代 数 电子教案之七,主要内容,第七讲 线性方程组,线性方程组的基本定理；,线性方程组的解法求解线性方程组的步骤；,矩阵方程有解的充要条件，及其推论.,基本要求,理解线性方程组无解、有唯一解或由无限多个解的充要条件（包括非齐次线性方程组有解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件）；,熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法；,知道矩阵方程 有解的充要条件.,一、线性方程组的基本定理,第四节 线性方程组的解,1. 定理的引入,设,线性方程组 无解.,2. 线性方程组的相容性,线性方程组 如果有解，就称它是相 容的；如果无解，就称它不相容.,利用系数矩阵和增广矩阵的秩，可以方便
2、地讨 论线性方程组是否相容，以及有解时解是否唯一 等问题.,3. 线性方程组的基本定理,() 无解的充分必要条件是,() 有唯一解的充分必要条件是,() 有无限多解的充分必要条件是,证,因为条件()、 () 、()中的必要性分别可 以由 () () 、() () 、 () () 中条件的 必要性推得，所以只需证明条件的充分性.,设,的行最简形为,为了叙述方便，不妨设,() 若 则 中的,() 若 则 中的,于是的第 行对应矛盾方程 ，故方程无解.,() 若 则 中的,（或 不出现），,且 都不出现，即,() 若 则 中的,于是的第 行对应矛盾方程 ，故方程无解.,() 若 则 中的,（或 不出
3、现），且 都不出现，即,这就是线性方程组 的唯一解.,() 若 则 中的,（或 不出现），,这时 为,对应的方程组为,这里 是自由未知数，令自由未知数 即得方程组 的含 个任意常数的解,写成向量形式为,即,其中 为任意常数，故方程组 此时有无限多个解.,证毕,说明,当 时，含个参数的解可以表示线性方程组 的任一解，称为线性方程组 的通解.,此定理的证明过程给出了求解线性方程组的步骤.,二、线性方程组的解法,求解线性方程组的步骤：,写出系数矩阵或增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 ，对于废气次线性方程组写出增广矩阵 ;,用初等行变换把系数矩阵 或增广矩阵 化为行阶梯形;,3. 对于非齐次线
4、性方程组，判断它的相容性，,1） 若 ，则方程组无解，,2） 若 , 则方程组有解，进一步把 增广矩阵 化为行最简形，,对于齐次线性方程组，把系数矩阵 进一步化为 行最简形；,4. 求通解，,设 ，把行最简形中个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自 由未知数，其余 个未知数取作自由未知数， 并令自由未知数分别等于 ，由的行最简形，即可写出含个参数的通解.,例1 求解齐次线性方程组,解,这是一个齐次线性方程组，只需对系数矩阵 施行初等行变换化为行最简形：,即得与原方程组同解的方程组,即,所以原方程组的通解为,为任意 实数.,说明,线性方程组的解一般写成向量形式，特别是写成列向量的和的形式. 而
5、不写成下面的参数形式：,此例一个解线性方程组的“标准程序”的示范；必须熟练掌握次：“标准程序”，才能在此基础上灵活求解线性方程组.,例2 求解非齐次线性方程组,解,这是一个非齐次线性方程组，对增广矩阵 施行初等行变换:,可见,故方程组无解.,例3 求解非齐次线性方程组,解,这也是一个非齐次线性方程组，对增广矩阵 施行初等行变换:,即得与原方程组同解的方程组,所以，方程组的解为,所以，方程组的解为,检验：,所以，方程组的解为,检验：,所以，方程组的解为,检验：,解,析：求解带参数的方程组，包括何时无解、有唯 一解、有无限多个解，是基本定理的综合应用, 在线 性代数中占有重要地位， 因此要熟练掌握
6、它的解法.,带参数 的非齐次方程 ，一般有两个求解方 法：其一是当 为方阵时, 先根据系数行列式,求得使方程组有唯一解 的值，然后讨论；,其二是对,矩阵 作初等行变换.,方法一：,系数矩阵的行列式为,因此,(1) 当 即 且 时，方程组有 唯一解.,(2) 当 时，,根据克莱默法则,可见,故方程组此时有无限多个解，且通解为,可见,故方程组此时有无限多个解，且通解为,(3) 当 时，,方法二：,对增广矩阵 作初等行变换，,(1) 当,且,即,且 时，,此时方程组有唯一解；,(2) 当 时，,(3) 当 时，,可见,故方程组此时有无限多个解，且通解为,说明,上述的两种解法各有优缺点：解法一优点是避
7、免对带参数矩阵的初等行变换，缺点是仅适用于系数矩阵为方阵的情形；解法二优点是能同时解决何时无解、何时有唯一解、何时有无穷多解的问题，并且当系数矩阵不是方阵时，只能用此方法，缺点是对含有参数的矩阵作初等变换，容易在计算中出现错误.,对带有参数的矩阵作初等变换时应注意不宜作以下变换：,诸如 的初等行变换，,这是因为当,时，相当于把矩阵某一行的元素全部变为0，这样变换后的矩阵的秩与原矩阵的秩未必相等；,诸如 的初等行变换，,这是因为当,诸如 的初等行变换，,原因与上面类似.,线性方程组的通解形式是不唯一的，这是由于自由未知数的选取不同.,时，第 行是零行, 但经变换后该行有可 能变成非零行，这样变换
8、后的矩阵的秩与原矩 阵的秩未必相等；,三、重要定理,为了应用方便，常把上述的基本定理分成两个定理来叙述：,定理5 线性方程组 有解的充要条件是,线性方程组 无解的充要条件是,定理6 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是,元齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是,四、基本定理的推广,上述的基本定理可以推广到矩阵方程上，得到下 面两个定理：,定理7 矩阵方程 有解的充分必要条件是,定理9 矩阵方程 只有零解的充分必要条件是,证明,证明,矩阵方程 有解,证,设 为 矩阵，,为 矩阵，,因此，若矩阵方程 有解，则 个向量方程都有解；反之，,下证充分性：,由于,故有,矩阵的秩的性质5,从而根据定
9、理5知，,于是矩阵方程 有解.,再证必要性：,设矩阵方程 有解,从而 个,向量方程 都有解，设为,设,于是，,因此,即,证毕,表明了 的列向量与 的列向量的关系,矩阵方程 只有零解,证,充分性：,都只有零解，,矩阵方程 只有零解.,必要性：,矩阵方程 只有零解,都只有零解，,证毕,说明,定理9阐明了矩阵乘法消去律成立的条件：,当且仅当 时成立；,当且仅当 时成立；,当且仅当 时成立；,当且仅当 时成立.,证,矩阵方程 有解,（根据定理7）,（根据矩阵的秩的性质）,因此,解,选(d).,是 的标准形，只用初等行变换将 化为标准形不一定可行，所以(b)不正确，(a)更加 不正确.,齐次线性方程组只
10、有零解的条件是系数矩阵的秩 等于列数，而不是等于行数，所以(c)不正确；,的增广矩阵满足,所以,证,（1）方程 有解,（定理7）,（2）方程 有解,（由（1）,方程 有解,（矩阵的秩的性质）,说明,当 ，即 为 阶方阵时，显然 及有解 ，并有 ；,当 时，按题设条件的解 和 不是唯一的.,五、小结,用初等行变换求解线性方程组的步骤：,写出系数矩阵或增广矩阵；,判断是否有解，若有解，进一步化为行最简形；,求通解.,用初等行变换把系数矩阵或增广矩阵,化为行阶梯形；,线性方程组的基本定理给出了线性方程组有解、无解、有无穷多个解的充要条件.,带参数线性方程组的解法，一般有两种：其一根据系数行列式，其二对增广矩阵作初等行变换.,后继章节常用的重要结论：,矩阵方程 有解,矩阵方程 只有零解,线性方程组 有解,线性方程组 无解,元齐次线性方程组 有非零解,元齐次线性方程组 只有零解,矩阵方程 无解,矩阵方程 有非零解,作业：,P80 12.(1)(4)13.(2) 14.15.20.,
