1、,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,16.3 角的平分线,第十六章 轴对称和中心对称,1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（难点） 2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.(重点） 3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.,导入新课,复习引入,1.角平分线的概念,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.,2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 .,线段PC的长,3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .,图1,讲授新课,如图，任意作一个角AOB，作出AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线
2、，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.,PD=PE,作图探究,验证结论,已知：如图， AOC= BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE.,证明：, PDOA,PEOB，, PDO= PEO=90 .,在PDO和PEO中，,PDO= PEO，,AOC= BOC，,OP= OP，, PDO PEO(AAS).,PD=PE.,性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,应用格式：,OP 是AOB的平分线，,PD = PE,（在角的平分线上的点到这个角的
3、两边的距离相等）.,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.,PDOA,PEOB，,判一判：（1） 如图，AD平分BAC（已知），, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,(2) 如图， DCAC，DBAB （已知）., = , ( ),在角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,典例精析,例1 已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线且BD=CDB=C,DEAB, DFAC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC.,分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明RtBDE RtCDF.,证明： AD是BAC的角平分线， D
4、EAB, DFAC，, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF., EB=FC.,角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,应用所具备的条件：,定理的作用：判断点是否在角平分线上.,应用格式：, PDOA,PEOB，PD=PE.,点P 在AOB的平分线上.,典例精析,例2 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）？,D,C,S,解：作夹角的角平分线OC，,截取OD=2.5cm ,D即为所求.,O,典例精析,例3
5、 已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,D,E,F,证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.,BM是ABC的角平分线， 点P在BM上， PD=PE.同理PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点P在A的平分线上.,这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.,结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC
6、=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.,A,B,O,已知:AOB.,求作：AOB的平分线.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!,动手画一画,当堂练习,2.ABC中, C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .,3,1. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= .,60,BF,3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据
7、是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等,A,4. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由,解：AD平分BAC理由如下： D到PE的距离与到PF的距离相等， 点D在EPF的平分线上 12 又PEAB，13 同理，24 34，AD平分BAC,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,3,4,1,2,P,5.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC.,FGFM.,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC，,FMFH，,FGFH.,点F在DAE的平分线上.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,课堂小结,角的平分线,性质定理,一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等,性质定理的逆定理,内容,角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,作用,判断一个点是否在角的平分线上,辅助线 添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,
