1、抛物线的几何性质,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围(2)对称性(3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率(5)焦半径(6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,PF=x0+,F,P,通径的长度：2P,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心
2、率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,例题,例1. 求满足下列条件的抛物线的标准方程.,（1）焦点为F(5,0),解：(1)设抛物线标准方程为y2 = 2px(p0),因为 = 5，所以P=10,所以抛物线的标准方程是y2 = 20x,例题,例1. 求满足下列条件的抛物线的标准方程.,（2）经过点M(2, ),设抛物线标准方程为y2 =2p1x(p1 0)
3、或x2= -2p2y(p20),代入M点坐标得p1 =2或p2=,所以抛物线的标准方程是y2 = 4x或x2=,解(2)因为M在第四象限，故抛物线开口向右或向下,例题焦点弦问题,例2. 斜率为1的直线l经过抛物线y 2= 16x 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,抛物线的焦点弦的长度可以用普通弦长公式求解，更可以用x1 +x 2+ p求出.,若已知焦点弦所在直线的倾斜角为，则焦点弦长度可用表示为 .,抛物线的焦点弦中，通径最短！,练习: 过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为,y2 = 8x,16,例题焦点弦问题,变式. 斜率为k的直线l经过抛物线y
4、 2= 2px 的焦点F,且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点,求证：,(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,例3 抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水下降1米后，水面宽多少？,解：以抛物线拱桥的最高点为坐标原点，过原点垂直于水平面的直线为y 轴, 建立直角坐标系.,抛物线形拱桥所在的抛物线标准方程为x2=-2py根据已知条件可知水平面的B点坐标为(2,-2),代入方程得：22=-2p(-2)，p=1所以抛物线方程为x2=-2y,水面下降1米后B点坐标为(x,-3) 代入方程中，得x2=-2(-3)=6,所以这时水面宽为 米,B(2,-2),B(x,-3),问题：一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶离水面2米,一水面上飘浮一宽2米,高出水面1.4米的大木箱,问能否通过该拱桥？,1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那 么抛物线通径长是 .2、一个正三角形的三个顶点，都在抛 物线 上，其中一个顶点为坐标 原点，则这个三角形的面积为 。,练习,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,
