1、4 曲线与方程41 曲线与方程,第三章 圆锥曲线与方程,学习导航 学习目标重点难点 重点：求动点轨迹的常用方法：直接法、代入法、参数法、定义法、几何法等 难点：曲线与方程的对应关系(方程中特殊点的取舍),1.曲线与方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：,(1)曲线上点的坐标都是_； (2)以这个方程的解为坐标的点都在_, 那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程,这个方程的解,曲线上,想一想 设A(3，0)，B(0，3)，线段AB的方程是xy30吗？为什么？ 提示：不是(只具备了(1)，
2、而不具备(2)因为线段AB上的点的坐标都是方程xy30的解，但以方程xy30的解为坐标的点不都是线段AB上的点例如，x4，y1是方程xy30的解，但点(4，1)不在线段AB上,答案：C,2.已知曲线x2y2AxByC过原点，则必有_ 解析：(0，0)适合方程C0. 答案：C0,2.求曲线方程(直接法)的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用_表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件的点M的集合_； (3)用坐标表示条件p(M)， 列出方程_；,(x，y),pM|p(M),f(x，y)0,(4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 一般地，步骤
3、(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略(2)，直接列出曲线方程,讨论过点A(2，0)且平行于y轴的直线l的方程是|x|2吗？如果是，请说明理由；如果不是，应怎样改正？,【解】 由于过点A(2，0)且平行于y轴的直线l上任意一点的坐标(x，y)都满足方程|x|2，即满足(1)；但是以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在直线l上，例如(2，0)就不在直线l上，即不满足条件(2) 综上所述，|x|2不是直线l的方程，直线l的方程应是x2.,【名师点评】 判断曲线与方程的关系时，需同时判断方程的解不比曲线上的点多，曲线上的点不比方程的解多,变式训练 1.方程x2xyx的轨迹是(
4、 ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 解析：选C.x2xyx可化为x(xy1)0，即x0或xy10，表示两条直线,【名师点评】 判断点是否在方程所表示的曲线上，只需将点的坐标代入方程，若方程成立，则点在曲线上；若方程不成立，则点不在曲线上,变式训练,(本题满分12分)已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为21，求动点M的轨迹方程,【解】 以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示). 2分名师微博 根据对称性建立坐标系，使A，B两点在坐标轴上.,【名师点评】 本题求轨迹方程的方法是直接法用动点
5、(x，y)表示出|MA|2|MB|就是轨迹方程的原型化简过程中是等价变形可省略检验,变式训练 3.(2011高考陕西卷改编),1.已知B为线段MN上一点，MN6，BN2,过点B作C与MN相切，分别过点M，N作C的切线交于点P，则点P的轨迹是什么？并求它的标准方程,解：以MN所在直线为x轴， 线段MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点， 建立平面直角坐标系(如图所示) 设MP，NP分别与C相切于D，E两点， 则有|PM|PN| |MD|NE| |MB|BN|2， 且|MN|2，,2.长度为1的线段AB在x轴上运动，点P(0，1)与点A连接成直线PA，点Q(1，2)与点B连接成直线QB，求直线PA与
6、QB交点的轨迹方程. 解： 如图所示，设直线PA与QB的 交点为M(x，y). 设A(a，0)(a0)，则B(a1，0),方法技巧 1.求曲线的方程，其实质就是根据题设条件,把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，从而得到曲线对应的方程,2.建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征,例如中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等,失误防范 1.注意：坐标系建立的不同，表示同一曲线的方程也不相同 2.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状 3.要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围,
