1、第二章 几个重要的不等式,1 柯西不等式,1.简单形式的柯西不等式,名师点拨 1.定理1的几点说明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)20,所以简单形式的柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系,不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用.,【做一做1】 下列不等式中,不一定成立的是( )解析:由柯西不等式可知A,B,C项均成立,D项不成立. 答案:
2、D 【做一做2】 若a=(cos ,sin ),b=(3cos 2,3sin 2),则ab的取值范围是 . 解析:由已知得|a|=1,|b|=3,而由|可知|ab|a|b|=3,所以-3ab3,即ab的取值范围是-3,3. 答案:-3,3,2.一般形式的柯西不等式,名师点拨 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.,【做一做3】 若a,b,c,x,y,zR,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的取值范围是
3、. 解析:由三维形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)249=36,所以-6ax+by+cz6. 答案:-6,6,答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,思维辨析,分析根据柯西不等式的结构,可将欲证不等式右边添乘cos2+sin2,以符合柯西不等式的形式,再进行论证和推理.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 利用柯西不等式证明不等式时,有时需要将数学表达式进行适当变形,常见的变形技巧有下面几种: (1)结构的巧变(2)常数的巧拆 在运用柯西不等式时,根据题中的数字特征,对常数进行巧拆是一种常用技巧.,探究一,探
4、究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 利用柯西不等式向量形式解决问题的技巧与方法 利用二维形式柯西不等式的代数形式解决问题时常需要构造两列数,同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式,再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2已知a,bR+,且a+b=1. 求证:(ax+by)2ax2+by2.,探究一,探究二,思维辨析,分析根据柯西不等式的形式给式子进行变形,注意等价性.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 利用柯西不等式求最值的关键是根据已知条
5、件,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式求解最值,构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法: (1)巧乘常数;(2)添项;(3)改变式子的结构;(4)重新安排各项的次序等.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得 柯西不等式在求二元代数式的最值中具有重要的应用,解题中,一是要熟记柯西不等式的基本形式及其各种变式,二是要注意不等式中等号成立的条件,这是能否取得相应最值的关键,如果公式记忆不准确,忽视等号成立的条件,就容易导致错误.,探究一,探究二,思维辨析,答案:3,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,3.已知a,b,x1,x2(0,+),则使不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2成立的一个条件是( ) A.a+b=1 B.a2+b2=1答案:A,1,2,3,4,5,4.已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是 .,1,2,3,4,5,
