1、4 简单线性规划,4.1 二元一次不等式(组)与平面区域,1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)直线与坐标平面 一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分: 直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0; 直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c0; 直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c0表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.不等式ax+by+c0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.,【做一做1】已知点P(x0,y0)和点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=
2、0的异侧,则( ) A.3x0+2y00 B.3x0+2y08 解析:因为31+22-8=-10,即3x0+2y08.故选D. 答案:D,2.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组的解集是各个不等式解集的交集.我们知道每一个二元一次不等式都表示平面上的一个区域,因而二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)每个二元一次不等式组都能表示平面上的一个区域. ( ) (2)点(0,0)和点(1,2)分布在直线x+y+1=0的两侧. ( ) (3)若A0,则Ax+By+C0表示的
3、平面区域正好在直线Ax+By+C=0的右方. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例1】 画出下列二元一次不等式表示的平面区域: (1)x-2y+40; (2)3x+2y-62x; (4)3x+2y0. 分析:按照画二元一次不等式表示的平面区域的步骤进行.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)先画出直线x-2y+4=0(画成实线).取点(0,0),代入x-2y+4,得0-20+4=40,所以x-2y+40表示的平面区域为图中阴影部分.,(2)先画出直线3x+2y-6=0(画成虚线),取点(0,0),代入3x+2y-6,得0+0-60
4、,所以3x+2y-60表示的平面区域为图中阴影部分.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(4)先画直线3x+2y=0(画成虚线),取点(1,0),代入3x+2y,得31+20=30,所以不等式3x+2y0表示的平面区域为图中阴影部分.,(3)先画出直线2x-y=0(画成虚线),取点(1,0),代入2x-y,得21-0=20,所以y2x表示的平面区域为图中阴影部分.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟画二元一次不等式Ax+By+C0(0,0(0,0和Ax+By+C0,把边界画成虚线.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1 不等式x-y+10表示的平面区域是
5、 ( ),解析:先画出直线x-y+1=0(画成实线),即可排除A,C选项,将点(0,0)代入不等式,得10成立,排除D选项.故选B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例2】 画出下列不等式组表示的平面区域.,分析:不等式组表示的平面区域是每个不等式表示的平面区域的公共部分.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,将(1,0)分别代入的左边,知不等式表示的平面区域在直线x-y=0的右下方,不等式表示的平面区域在直线x+2y-4=0的左下方,不等式表示的平面区域在直线y+2=0的上方.故不等式组表示的平面区域如图甲中的三角形阴影部分(不包括边界).,探究一,探究二,探究三
6、,探究四,思维辨析,(2)不等式x-y+50表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合;x+y+10表示直线x+y+1=0上及右上方的点的集合;x3表示直线x=3上及左方的点的集合,所以不等式组表示的平面区域如图乙中的三角形阴影部分(包括边界).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.画二元一次不等式组所表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的平面区域,再取它们的公共部分即可.其步骤可概括为:画线;定侧;求“交”;表示. 2.在画二元一次不等式组表示的平面区域时,如果不等式组中的不等式不是标准形式,那么可先将其转化为标准形式(即不等号右侧为0),再画平面区域.,探究一,探究二
7、,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2 能表示图中阴影部分区域的二元一次不等式组为( ),解析:取原点O(0,0)检验满足x+y-10,所以异侧点应为x+y-10排除B,D,点O满足x-2y+20,排除C.故选A. 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析:先根据二元一次不等式组画出平面区域,再根据平面区域图形的特点求其面积. 解:不等式x-y+60表示直线x-y+6=0上及右下方的点的集合;x+y0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合;x3表示直线x=3上及左方的点的集合.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟解决平面
8、区域的面积问题一般步骤是: (1)画出不等式组表示的平面区域; (2)判断平面区域的图形的形状,并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关的线段长(三角形的高、四边形的高)等,利用图形的面积公式求解; (3)若图形是不规则的,可采取分割的办法,将平面区域分为几个规则图形后求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3,解析:画出不等式组表示的平面区域如图, 易求得A(-2,2),B(a,a+4),C(a,-a). SABC= |BC|a+2|=(a+2)2=9,由题意得a=1. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例4】 投资生产A产品时,每生产100吨需要资金20
9、0万元,需场地200平方米;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100平方米.现某单位有可使用资金1 400万元,场地900平方米,用数学关系式和图形表示上述要求. 分析:首先将已知数据列成表,如下表:,然后根据此表设未知数,列出限制条件,最后作图即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图(阴影部分).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.用二元一次不等式组表示实际问题的步骤: (1)根据问题需要,选取具有关键作用的两个量,用字母表示; (2)把问题中的所有量
10、都用这两个字母表示出来; (3)由实际问题中的限制条件以及所有量的实际意义写出所有的不等式,构造不等式组; (4)画出上述不等式组对应的平面区域. 2.对于本例,根据所设未知量的实际意义,千万不要遗漏x0,y0这一限制条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4 预算用2 000元购买单价为50元的键盘和20元的鼠标,鼠标数不能少于键盘数,但不多于键盘数的1.5倍,问键盘数、鼠标数应满足什么条件,并在平面直角坐标系中画出相应的区域. 解:设买x个键盘,y个鼠标,则x,y满足的条件是,相应的平面区域如图,故阴影部分中所有整数点的集合即为所求区域.,探究一,探究二,探究三,探究四,
11、思维辨析,忽视题意中的隐含条件而致误 【典例】 设集合A=(x,y)|x,y,1-x-y表示三角形的三条边长,则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )错解因为x,y,1-x-y是三角形的三边长,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得本题错误的原因是忽略题目中隐含条件,实际上,x,y,1-x-y除了都满足大于0之外,还有任意两边之和大于第三边这一条件,因此在解决与三角形边有关问题时,不要漏掉此隐含条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练 在平面直角坐标系中,不等式x2-y20表示的平面区域是( ),答案:B,1,2,3,4,5,解析:当x=0,y=-2时满足不等式组,所以点(0,-2)在区域内. 答案:C,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,3.若点(1,2)和(1,1)在不等式3x-y+m0表示的平面区域内,则m的取值范围是 .,答案:(-1,+),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.若一个二元一次不等式组表示的平面区域如图,试求出这个不等式组.,
