1、第三章 不等式,1 不等关系,1.不等关系 在日常生活中,不等关系处处存在.在数学意义上,不等关系可以体现为: (1)常量与常量之间的不等关系; (2)变量与常量之间的不等关系; (3)函数与函数之间的不等关系; (4)一组变量之间的不等关系. 【做一做1】某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不大于2.3%.用不等式表示对脂肪含量的规定为 ;用不等式表示酸奶质量的规定为 .,名师总结用不等式(组)表示不等关系时,常见文字语言与数学符号之间的转换如下表:,2.两个实数比较大小的依据 任意两个实数a,b都能比较大小: 如果a-b0,那么ab; 如果a-bN
2、 B.M=N C.MN D.与x有关 答案:A,3.不等式的性质 (1)如果ab,那么bb,bc,那么ac;(传递性) (3)如果ab,那么a+cb+c;(不等式移项的根据) (4)如果ab,c0,那么acbc;如果ab,cb,cd,那么a+cb+d;(加法) (6)如果ab0,cd0,那么acbd;(乘法) (7)如果ab0,那么anbn(nN+);(乘方),【做一做3】设a1b-1,则下列不等式中恒成立的是( ),答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)当x=5时,x5一定成立. ( ) (2)当x5时,x=5一定成立. ( ) (3)若
3、x2或x2,则x一定等于2. ( ) (4)若abc,a+2b+3c=0,则acbc. ( ) (5)若00,则有 成立. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例1】 由于帐篷规格的需要,要把一根长度为4 000 mm的钢管截成长度为500 mm和600 mm的钢管.按照生产的要求,长度为600 mm的钢管的数量不能超过长度为500 mm的钢管的数量的3倍.写出满足上述所有不等关系的不等式. 分析:用不等式组表示,首先要设出变量,同时注意变量的实际意义. 解:设截得长度为500 mm的钢管x根,截得长度为600 mm的钢管y根.,探
4、究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.用不等式(组)正确表示出不等关系,首先要弄清题意,分清量与量之间的关系,然后将量与量之间用不等号连接,注意不等式与不等关系的对应,不重不漏,尤其要注意实际问题中变量的范围. 2.若问题中的变量没有用字母给出,应首先用字母设出变量,有多个变量时,需用多个字母表示,同时要注意变量的单位要统一. 3.对于本例中,还要注意到钢管的数量是自然数这一限制条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1 某种杂志以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元
5、,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例2】 已知 ,比较cos 2与cos -sin 的大小. 分析:由于cos 2与cos -sin 均为正数,可采用作商法比较.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟比较实数(或代数式)大小的基本方法 1.比较实数(或代数式)大小的两种基本方法:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例3】 判断下列命题是否正确,并说明理由.,分析:解决这类问题,主要是根据不等式的性质进行判断,其实质
6、就是看是否满足性质所需要的条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.判断命题的真假时,先要把判断的命题与不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,再应用性质判断命题的真假.当然,判断的同时可能还会用到其他知识,如指数、对数函数的单调性等. 2.特值法是判断命题真假时常用的一种方法,在命题真假未定时,可先用特殊值试,若恰好找到特殊值使命题不成立,则该命题为假命题;但不能用特值法肯定一个命题,只能利用不等式的性质进行证明.但运用不等式的性质解决问题时,要注意不等式的性质成立的条件.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训
7、练3 给出四个条件:b0a;0ab;a0b,ab0,能推出 成立的是 . 解析:由不等式的性质可知,条件可使 成立. 答案:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,分析:可以由已知条件出发,利用不等式的性质逐步推证不等式;也可以利用作差法,通过差的符号证明不等式.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟利用不等式的性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成立的条件,若不能直接由不等式的性质得到,则可先分析需要证明的不等式的结构,再利用不等式的性质进行转化.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4 设函数f(x)=|lg x|,若0f
8、(b),试证明ab1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得不等式性质的运用一般都是有限制条件的,尤其是对不等式的多次相加减,本题的错因就是多次运用不等式的性质相加减,从而导致了a与b范围的扩大,归根结底是由于a和b之间具有线性约束关系,不是独立存在的原因.正确的解法是把所求直接构造成已知条件的结构形式,从而避免了多次运算.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练 (2016河南信阳高三专项检测)已知x,y为正实数,满足1lg(xy)2,3 4,求lg(x4y2)的取值范围.,1,2,3,4,5,1.高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为( ),解析:两个条件都要满足,应写成不等式组的形式. 答案:B,1,2,3,4,5,2.如果a0b且a+b0,那么以下不等式正确的个数是 ( ),A.2 B.3 C.4 D.5 解析:正确.中应为a3ab2;中应为 答案:B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.若-2a5,3b4,则2a-b的取值范围是 . 解析:因为-2a5, 所以-42a10. 又3b4, 所以-4-b-3. 所以-82a-b7. 答案:(-8,7),1,2,3,4,5,
