1、专题跟踪训练( 十六)一、选择题1(2018昆明模拟 )在ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 2 ， 3 ，若 a， b ，则 ( )BD DC CE EA AB AC DE A. a b B. a b13 512 13 1312C a b D a b13 512 13 1312解析 DE DC CE 13BC 34CA ( )13AC AB 34AC a b，故选 C.13AB 512AC 13 512答案 C2(2018吉林白城模拟) 已知向量 a(2,3)，b(1,2) ，若manb 与 a2b 共线，则 ( )mnA. B2 C D212 12解析 由向量 a(2,3
2、)，b(1,2)，得manb(2 mn,3m 2n)，a2b(4 ， 1)由 manb 与 a2b共线，得 ，所以 ，故选 C.2m n4 3m 2n 1 mn 12答案 C3已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为 ，则“ab0”是“ 为锐角”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由 ab0，可得到 ，不能得到 ；而由0，2) (0，2) ，可以得到 ab0.故选 B.(0，2)答案 B4(2018郑州一中高三测试) 已知向量 a，b 均为单位向量，若它们的夹角为 60，则| a3b| 等于( )A. B. C. D47 10 13解析 依题意得 ab
3、，| a3b| ，故12 a2 9b2 6ab 13选 C.答案 C5已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，则( 2 )(3 4 )( )AB BC BC CA A B132 112C6 D632 32解析 ( 2 )(3 4 )3 6 24 8AB BC BC CA AB BC BC AB CA 3| | |cos1206| |24| | |cos120BC CA AB BC BC AB CA 8| | |cos120BC CA 311 6 12411 811 ( 12) ( 12) ( 12) 32624 ，故选 B.112答案 B6(2018河南中原名校联考) 如图所示，矩形 ABCD
4、 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若 (， 为实数) ，则DE AB AD 2 2( )A. B. C1 D.58 14 516解析 ( )DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14 ，所以 ， ，故 2 2 ，故选 A.AB 34AD 14 34 58答案 A7(2018山西四校联考) 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD 2DC，E 为 BC 边上一点， 3 ，F 为 AE 的中点，BC EC 则 ( )BF A. B. 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD 13AB 23AD 解析 解法一：如图，取 AB
5、的中点 G，连接 DG、CG，则易知四边形 DCBG 为平行四边形，所以 BC GD AD AG AD 12， ，AB AE AB BE AB 23BC AB 23(AD 12AB ) 23AB 23AD 于是 ，BF AF AB 12AE AB 12(23AB 23AD ) AB 23AB 13AD 故选 C.解法二： BF BA AF BA 12AE AB 12(AD 12AB CE ) AB 12(AD 12AB 13CB ) ( )AB 12AD 14AB 16CD DA AB .23AB 13AD 答案 C8(2018河南郑州二模) 已知平面向量 a，b，c 满足|a| |b| c|
6、1，若 ab ，则(ab)(2 b c)的最小值为( )12A2 B3 C1 D03解析 由 |a|b|1， ab ，可得a，b ，令 a，12 3 OA b，以 的方向为 x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标OB OA 系，则 a (1,0)， b ，设 c (cos，sin )OA OB (12，32) OC (0 2)，则( ab)(2bc )2abac 2b2b c33 sin ，则 (ab)(2bc) 的最小值(cos 12cos 32sin) 3 ( 3)为 3 ，故选 B.3答案 B9(2018安徽江南十校联考) 已知ABC 中，AB6，AC 3，N 是边 BC 上的点，且
7、2 ，O 为ABC 的外BN NC 心，则 的值为( )AN AO A8 B10 C18 D9解析 由于 2 ，则 ，取 AB 的中点为BN NC AN 13AB 23AC E，连接 OE，由于 O 为ABC 的外心，则 ， EO AB AO AB 2 6218，同理可(12AB EO )AB 12AB 12得 2 32 ，所以 AC AO 12AC 12 92 AN AO (13AB 23AC )AO 13AB 18 639，故选 D.AO 23AC AO 13 23 92答案 D10(2018 山西太原模拟) 已知DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R 4，如果 0，且| | |，则向量
8、在 方OD DE DF OD DF EF FD 向上的投影为( )A6 B6 C2 D23 3解析 由 0 得， .OD DE DF DO DE DF DO 经过 EF 的中点，DO EF .连接 OF，| | | |4，OF OD DF DOF 为等边三角形，ODF60.DFE30，且EF4sin6024 .3向量 在 方向上的投影为 | |cos ， EF FD EF EF FD 4 cos1506，故选 B.3答案 B11(2018 湖北黄冈二模) 已知平面向量 a，b，c 满足|a| |b|1， a(a2b )，(c2a)( cb)0 ，则|c|的最大值与最小值的和为( )A0 B.
9、C. D.3 2 7解析 a(a2b)，a(a2b)0，即 a22ab，又|a| |b|1， ab ， a 与 b 的夹角为 60.12设 a， b， c ，以 O 为坐标原点， 的方向为 xOA OB OC OB 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则 a ，b(1,0)(12，32)设 c(x，y)，则 c2a(x1，y )，cb( x1，y )3又(c2a)(cb)0，( x1) 2y( y )0.3即(x 1) 2 2 ，(y 32) 34点 C 的轨迹是以点 M 为圆心， 为半径的圆(1，32) 32又|c| 表示圆 M 上的点与原点 O(0,0)之间的距离，所以x2 y2|c|m
10、ax |OM| ，|c| min| OM| ，32 32|c| max|c| min2|OM| 2 12 ( 32)2 ，故选 D.7答案 D12(2018 广东七校联考) 在等腰直角ABC 中，ABC90，ABBC2 ，M ，N 为 AC 边上的两个动点( M，N 不与 A，C 重合)，且满足| | ，则 的取值范围为( )MN 2 BM BN A. B.32，2 (32，2)C. D.32，2) 32， )解析 不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段 A
11、C 的方程为xy 20(0 x 2)设 M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知0a1)， (a,2a)， (a1,1a) ， a( a1)BM BN BM BN (2 a)(1a) 2a 2 2a22 2 ， 0 a1，由二次函(a 12) 32数的知识可得 .BM BN 32，2)答案 C二、填空题13(2017 全国卷)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a| 2，| b| 1，则|a2b| _.解析 由题意知 ab| a|b|cos6021 1，则12|a 2b|2( a2b) 2|a| 24| b|24ab44 412.所以|a2b|2 .3答案 2 314(2017 山东卷)已
12、知 e1，e 2 是互相垂直的单位向量，若e1 e2 与 e1e 2 的夹角为 60，则实数 的值是_3解析 ( e1e 2)(e1 e2)3 e e1e2e 1e2e ，| e1e 2| 321 3 2 3 3 3e1 e22 2，3e21 23e1e2 e2|e1e 2| ，e1 e22 e21 2e1e2 2e2 1 2 2 cos60 ，解得 .3 1 2 1 233答案 3315在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，BC CD 点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合)，若 x (1x ) ，则AO AB AC x 的取值范围是 _解析 依题意，设 ，其中
13、1 ，则有 BO BC 43 AO AB ( )(1) .BO AB BC AB AC AB AB AC 又 x (1 x ) ，且 ， 不共线，于是有 x1，AO AB AC AB AC 由 ，知 x ，即 x 的取值范围是 .(1，43) ( 13，0) ( 13，0)答案 ( 13，0)16(2018 河北衡水二中模拟) 已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD 2CD2，ABCD ，ADC90 ，若点 M 在线段 AC 上，则| |的最小值为 _MB MD 解析 建立如图所示的平面直角坐标系则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设 (01) ，则AM AC M(， 2)，故 ( ，22)， (2 ，2)，则MD MB (2 2 ，24)，| | MB MD MB MD 2 22 2 42，当 时，| |取得最小值为 .20( 35)2 45 35 MB MD 255答案 255
