1、相似三角形的性质1.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE，BE，BD，且 AE，BD 交于点F， ，则 DE：EC=（）:4:25DEABFSA.2：3 B.2：5 C.3：5 D.3：22.如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，CB 丄 AB，AB=AD， ，点 E，F 分别为12CDABAB，AD 的中点，则 与多边形 BCDFE 的面积之比为（）AEFA. B. C. D.171615143.如图，在 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，并且 DEBC ， ， 的面积ABC 23DEBCA是 8，则 的面积为_.4.如图，在 中，点 D，E 分别是边
2、AB，AC 的中点， DF 过 EC 的中点 G 并与 BC 的延长ABC线交于点 F，BE 与 DF 交于点 O.若 的面积为 S，则四边形 BOGC 的面积=_.A5.如图，一张等腰三角形纸片，底边长 15cm，底边上的高为 22.5cm，现沿底边依次从下向上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张纸条是第_张.6.已知一个三角形的三边长分别为 1， ，3，与其相似的三角形的最大边长为 ，求较大2 32三角形的周长和面积.7.如图，已知平行四边形 ABCD 中，ABCD，AC 与 ED 交于点 F， ，且26AEScmAE：EB=1 ：2，求平行四边形 AB
3、CD 的面积.8.如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，CE 是BCD 的平分线，且 CE 丄 AB，E 为垂足，BE=2AE，若四边形 AECD 的面积为 1，试求梯形 ABCD 的面积.9.如图，在 中，C=90，AC=4，BC=3 ，正方形 DEFG 的顶点 D，E 在斜边 AB 上，ABC点 G，F 分别在直角边 AC，BC 上，我们称正方形 DEFG 内接于 .如果设正方形的边长为 x，ABC通过计算易得边长 x 的值为 .6037探究与计算：（1）如图，若三角形内有竖立排列的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于 ，ABC正方形的边长为_；（2）如图，若三角形内有竖立排列的三个
4、全等的正方形，它们组成的矩形内接于 ，则正方形的边长为_.猜想与证明：如图，若三角形内有竖立排列的 n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明.ABC10.如图，在 中，BC=2，BC 边上的高 AD=1，P 是 BC 上任意一点（与 B，C 不重合） ，ABCPEAB 交 AC 于 E，PFAC 交于 F.（1）设 BP=x， 的面积为 S，求 S 与 x 的函数解析式和 x 的取值范围；PEF（2）当 P 在 BC 边上的什么位置时，S 值最大？11.已知在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点， DE 与 CF 交于点
5、G.（1）如图，若四边形 ABCD 是矩形，且 DE 丄 CF，求证： .DEACF（2）如图，若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当B 与EGC 满足什么关系时，使得 成立? 并证明你的结论.DEACF（3）如图，若 BA=BC=6，DA=DC=8，BAD=90 ， DE 丄 CF.请直接写出 的值DECF参考答案1. A 解析 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=CD，EAB=DEF.又AFB= DFE，DEFBAF.SDEF：S BAF=4：25， 25DEABAB=CD， ，DE：EC=2:3. 故选 A.25C2. C 解析 如图，连接 BD，F，E 分别为 AD，
6、AB 的中点，来源:gkstk.Com ，EFBD ，12BDAEFABD， .14AEFBDSAEF 的面积：四边形 EFDB 的面积1：3. ，CBAB ，ABCD，12CD ，1122BADCSAEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 1：（32 ）1 ：5，故选 C.3. 18 解析 ABC 中，DEBC， ADEABC. ， .23DEB24=39ADEBCSADE 的面积为 8， ，S ABC18.ABC4. 解析 点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点， .74S 12DEBC又 ADE 的面积是 S，ABC 的面积是 4S.四边形 DECB 的面积是 3S.点 G 是 EC
7、 的中点， .12EGCAEDEG 的面积是 ADE 的面积的一半，即 S，同理，DEB 的面积是 S.12由 DECF，EG=GC，易知 DEGFCG，DE=CF.DEBC，DEOFBO ，EO： BO=DE：BF=1：3，BDO 的面积是 BDE 的面积的 ，即 S.34四边形 BOGC 的面积= .172SS5. 6 解析 设从顶点到这个正方形的线段长为 x cm，因为正方形的边长是 3cm，所以，解得 x=4.5，所以（22.5-4.5）3=6，即这张正方形字条是第 6 张.3152.x6. 解：边长分别是 1， ，3 的三角形的最大边长为 3，小于另一三角形的最大边长2，32它与另一
8、三角形的相似比 ，3:21:它与另一三角形的周长的比也为 1： .这个三角形的周长等于 1+ +3=4+ ，22另一三角形的周长= （4+ ） = +4.412+（ ） 2=32，这个三角形是直角三角形，直角边长分别为 1， ，2它的面积= ，2另一三角形的面积= . 2故较大三角形周长为 +4，面积为 .4点拔：本题利用了勾股定理的逆定理，相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。7. 解 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB=CD，AEFCDF.又AE：EB=1：2，AE：CD=1：3，AF：FC=1：3.SAEF：S CDF=1：9又AEF 的面
9、积等于 6cm2,CDF 的面积等于 54cm2,ADF 的面积=54 =18（cm 2），13ACD 的面积=54+18=72（cm 2），平行四边形 ABCD 的面积=2S ADC=144（cm 2）点拔：本题考查的知识点是相似三角形的判定，相似三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是发现平行四边形的面积等于 ADC 面积的 2 倍.8. 解：如图，延长 BA，CD 相交于点 F.CE 平分 BCD，BCE=FCE.CEAB，CEB= CEF=90.又CE=CE，CEBCEF ，BE=FE，S CEB=CEF.来源:gkstk.ComBE=2AE，FE=2AE，FA=AE，FB=4AF
10、.ADBC，FADFBC.设 SBCE=x，则由四边形 AECD 的面积为 1 可知 SFAD=x-1，S BCF=2x，S 梯形 ABCD=x+1.，即 ，解得 .2FADBC16x87xS 梯形 ABCD=x+1= 579. 思路建立（ 1）要求正方形的边长，可根据题目所给的条件，先求出 AB=5，AB 边上的高为 ，再根据 CGFCAB，得到 ，将已知数据代入即可求出正方形的125GFAB边 上 的 高边 上 的 高边长；（2）可根据题目及（1）中的方法进行求解，并进而猜想出一般性的结果.解：探究与计算：（1）如图，作 CMAB 于点 M，交 GF 于点 N，设正方形的边长为x，C=90
11、，AC=4，BC=3， ，25ABC 5CM= 34，1则 CM= .25四边形 GDEF 是矩形，GF AB，CGFCAB， ，GFCNABM即 ，解得 .125x301所以正方形的边长为 .3（2）由（1）得 ，解得 .125x6087所以正方形的边长为 .来源:学优高考网 gkstk6087猜想：正方形的边长为 .125n证明：由（1）得 ，解得 .5x60125n10. 思路建立（1）要求 S 与 x 的函数解析式，首先求解三角形 ABC 的面积，然后结合三角形相似，面积比等于相似比的平方，得到 CEP 和 BPF 的面积，再根据四边形 AEPF 为平行四边形，从而得到 SPEF 的表
12、达式；（2）根据（1 ），结合二次函数的性质，求解最大值即可.解：（1）BC=2，BC 边上的高 AD=1，ABC 的面积为 1.PFAC，BFPBAC ，.2214BEPACSxSBFP= .24x同理，CEPCAB. .22214CEPAB xS SCEP= .24xPEAB，PFAC，四边形 PFAE 为平行四边形，12PFAEABCFPCESSS2210244xxx（2） ，22S当 x=1，即 P 是 BC 边的中点时，S 值最大.点拔：本题结合平面几何知识综合考查建立函数解析式的能力及对相似三角形性质的应用，找准变量之间的关系是解题的关键，难度较大.11. 思路建立（1）要证明 ，
13、观察得 DE，AD，CF ，CD 分别是 RtAED 与DEACFRtDFC 中的边长，可证两个三角形相似.（2）若四边形 ABCD 是平行四边形，要证 ，则不能证 ADE 与 DCF 相似，DEACF故应构造三角形，延长 AD 到点 M 且使 CF=CM，则可证 ADEDCM.（3）过点 C 作 CMAD 于点 M，交 ED 于点 N.因为BAD=90，所以 ABCM，所以AED=ENC.又因为ENC= CFM，故 AED=CFM，所以 AEDMFC，所以 .DEACFM利用勾股定理，求出 CM 的长为 ，可求出 .1925254DECF（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，A=ADC=90
14、.DECF，ADE= DCF，ADEDCF，.DEACF（2）解：当B+EGC=180 时， 成立.证明如下：DEACF如图，在 AD 的延长线上取点 M，使 CF=CM，则CMF= CFM.ABCD，A=CDM.ADBD，CFM= FCB.在四边形 BEGC 中，B+ BEG+EGC+BCG=360，B+EGC=180，BEG+BCG=360-180=180.又BEG+ AED=180，来源:gkstk.ComAED=FCB，CMF=AED.ADEDCM， ，即 .DEACMEADFC（3） .254F解析 如图，作 CMAD 交 AD 于点 M，作 BHCM 交于点 H.连接 BD，在 R
15、tABD 中，BAD=90，由勾股定理，得 .226810BDA在 BCD 中，BC=6，DC=8，BD=10，BC2+DC2=BD2， BCD=90.ADC+ABC=180.CMAD，BAD=90 ，ABCM.BCM+ABC=180.ADC=BCM（同角的补角相等），即CDM=BCH.又CMD=BHC=90 ，来源:学优高考网CMDBHC， .MDCHB设 MD=x，CH=y， ， .86xy34x又AM=AD-MD=8-x，四边形 AMHB 是矩形，BH=AM=8-x.在 RtBHC 中，由勾股定理，得 BH2=BC2-CH2，即（8-x） 2=62-y2，把 y= x 代入（8-34x）
16、 2=62-y2 中，得（8-x） 2=36-（ ） 2，化简，得 25x2-256x+448=0，34x解得 x1=8（不合题意，舍去），x 2= . .565MD在 RtCMD 中，由勾股定理，得 .22256198CMDA=FMC=90,AED=MFC（同角的余角相等），AEDMFC， .25194FACM当 F 与 A 重合时，E 与 B 重合，此时 ，210BD ，AC=2AG= ，684105G485 .2ECFA点拔：这类题目的特点是：通常先在一个特殊的图形中，根据已知条件求有关问题，然后再在一个一般的图形中，其他条件不变，求相同的问题，在这种由特殊到一般的问题中，解题的思路是不变的.
