1、专训 3 正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需判定它既是菱形又是矩形即可利用正方形的性质证明线段位置关系1如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别在 OD，OC 上，且DECF，连接 DF，AE，并延长 AE，其延长线交 DF 于点 M.求证：AMDF.(第 1 题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2在正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点 M，N. 【导学号：54274025】(1)如图，当MAN 绕
2、点 A 旋转到 BMDN 时，易证： BMDN MN.当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，如图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由(2)当MAN 绕点 A 旋转到如图所示的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由(第 2 题)利用正方形的判定和性质探究正方形的条件3如图，在 RtABC 中， ACB90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE.(1)求证：CEAD.(2)当点 D 为 AB 的中点时，四边形 BECD 是什么
3、特殊四边形？请说明理由(3)若点 D 为 AB 的中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明理由(第 3 题)来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网 gkstk正方形的性质与判定的综合运用4如图，P，Q ，R ，S 四个小球分别从正方形的四个顶点 A，B，C ，D 同时出发，以同样的速度分别沿 AB，BC，CD，DA 的方向滚动，其终点分别是 B，C ，D ，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形 PQRS 总是正方形(2)四边形 PQRS 在什么时候面积最大？(3)四边形 PQRS 在什么时候面积为正方形 ABCD 面积的一半？并说明理由
4、(第 4 题)来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网答案来源:学优高考网 gkstk1证明：AC，BD 是正方形 ABCD 的两条对角线，ACBD ，OAODOCOB.AOE DOF90.DECF ，OEOF.AOE DOF.OAE ODF.DOF 90，DFO FDO90.DFO FAE90.AMF 90，即 AMDF.2解：(1)仍有 BMDNMN 成立证明如下： 过点 A 作 AEAN ，交 CB 的延长线于点E, 易证 ABEADN，DNBE，AE AN. 又 EAMNAM45 ，AMAM，EAMNAM.ME MN.MEBEBMDN BM，BMDNMN .(第 2 题)(2)DN
5、BMMN.理由如下： 如图，在 DN 上截取 DEBM，连接 AE.四边形 ABCD 是正方形，ABMDBAD 90，ABAD.又BMDE ， ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90，MAE 90.MAN45，EAN 45MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.MNEN.DNDE EN BMMN.DNBMMN.3(1)证明：DEBC ， DFB90.ACB90，ACBDFB.ACDE.MNAB ，即 CEAD，四边形 ADEC 是平行四边形CEAD.(2)解：四边形 BECD 是菱形理由：D 为 AB 的中点，ADBD.CEAD，BDCE.BDCE，四边形 BECD 是平行四边形
6、ACB90，D 为 AB 的中点，CDBD.四边形 BECD 是菱形(3)解：当A 45时，四边形 BECD 是正方形，理由：ACB90，A45，ABCA 45. AC BC.点 D 为 AB 的中点，CDAB.CDB90.四边形 BECD 是菱形，菱形 BECD 是正方形即当A45时，四边形 BECD 是正方形4(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，A BCD90，ABBCCDDA.又在任何运动时刻，APBQCRDS，PBQCRDSA.ASPBPQ CQRDRS. PSQPRQSR， ASP BPQ.在任何运动时刻，四边形 PQRS 总是菱形又APS ASP90， APSBPQ90.QPS
7、 180( APSBPQ) 180 9090. 在任何运动时刻，四边形 PQRS 总是正方形(2)解：当 P，Q，R，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形 ABCD的面积(3)解：当 P，Q，R，S 四个小球滚动到正方形 ABCD 各边中点时，四边形 PQRS 的面积为正方形 ABCD 面积的一半理由：设正方形 ABCD 的边长为 a.当 PS2 a2 时，在 RtAPS 中，ASaSDa AP.12由勾股定理，得 AS2AP 2PS 2，即(aAP) 2AP 2 a2，12解得 AP a.12同理可得 BQCRSD a.12当 P，Q，R，S 四个小球滚动到正方形 ABCD 各边中点时，四边形 PQRS 的面积为正方形ABCD 面积的一半
