1、第五章 系统的频域分析：一、 连续时间系统的频率响应H(jw)二、 连续信号通过系统响应的频域分析三、无失真系统与理想滤波器四*、离散时间系统的频域分析五、调制与解调,前面学过求信号的频谱，本章分析系统响应的频谱。 所谓频域分析，就是利用傅氏变换，将时域的输入和输出转换到频域来考察。,一、 连续时间系统的频率响应H(jw),H(jw)的定义、物理意义与求解方法 虚指数信号ejwt(-t)通过LTI系统的响应 任意非周期信号通过系统的响应,1. H(jw)的定义、物理意义与求解方法,H(jw)称为系统的频率响应，反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性，反映系统本身的特性，又称系统函数，体现输
2、入与输出之间的联系，揭示了信号与系统的内在频率特性，是频域分析方法的核心。,在时域中，系统的零状态响应可以描述为：,傅氏变换存在时，对上式做傅氏变换，转换到频域考察：,1. H(jw)的定义、物理意义与求解方法,系统的零状态响应yzs (t)等于信号与系统冲激响应的卷积，而yzs (t)的频谱等于信号频谱与系统频响的乘积。 H(jw)只与系统本身的特性有关，而与激励无关，当某些频率点上H(jw)0时，输出端对应的频率输出为零，体现了一种滤波、选择的思想。,在时域中，系统的零状态响应可以描述为：,傅氏变换存在时，对上式做傅氏变换：,Yzs (jw)= H(jw) F(jw),特别注意： H(jw
3、) 与h(t)一样，对应系统初始状态为零（零状态）的条件，所以系统频率响应只是包含了系统零状态响应。,从定义式可以看到，通过频域分析方法也可以求出系统的响应，但只能求解系统的零状态响应Yzs(jw) ！而系统起始状态对系统的作用（零输入响应）不能从系统频率响应中求得！零输入响应只能由齐次方程从时域中求出。,Yzs (jw)= H(jw) F(jw),如果信号不存在傅氏变换时，不可以用频域分析方法。在本教材中，没有特别提示时，涉及到H(jw) 的求解，都指满足IR条件的LTI因果系统，即不考虑初始状态的影响，即满足：,从另一个角度而言，傅氏变换时是从到 的，即激励作用的时间是 t =，即信号总是
4、作用于系统的，所以可认为系统的零输入响应不存在。与判断系统时不变特性、求系统的冲激响应时的情况一样，都不考虑系统初始状态，而假定系统的初始状态0。,Yzs(jw)= H(jw) F(jw),频响中： 为幅度响应； 为相位响应。,H(jw)体现系统的频率响应特性，其有多种求解方法： 由系统的微分方程求解 由定义直接求解 由电路零状态的频域模型求解 ,解：微分方程写成频域表示式，（即设存在傅氏变换，且为LTI因果系统）有：,由定义可求得,例 已知描述某LTI系统的微分方程为y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = f(t)，求系统的频率响应H(jw),例 已知某LTI系统的冲激响应为h(t)
5、 = (e -t-e -2t) u(t)，求系统的频率响应H(jw)。,解： 利用H(jw)与h(t)的关系,例 LTI系统，输入 f(t)e t u(t)，输出 y(t)= e-tu(t) + e-2tu(t) ，求频率响应H(jw)和h(t)。,解： 对输入、输出进行傅氏变换：,由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为：,例 已知LTI系统的微分方程为： y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3f (t)+4f (t)，输入为 f(t)=e- 3tu(t)，求系统的零状态响应yzs (t) 。,解：先求Yzs (jw)= H(jw) F(jw) ，则可求yzs (t)
6、。,当输入为 f(t)=e- 3tu(t)时：,部分分式展开,例 图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压 y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t)。,解： 电路的频域模型（P217）如右图，由系统函数定义和分压原理：,由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为：,IC(jw),RC电路系统的幅度响应,随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大，即低通。,由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。,低通滤波器,连续信号
7、通过系统响应的频域分析,连续非周期信号通过系统响应的频域分析 连续周期信号通过系统响应的频域分析 正弦信号通过系统响应的频域分析 任意周期信号通过系统响应的频域分析,方法：根据Yzs(jw)= H(jw) F(jw) ，先求系统的频率响应H(jw) ， 信号频谱F(jw)，然后求yzs (jw) ，然后作傅氏反变换，即可求出系统零状态响应 yzs (t) 。,在此就是求零状态响应。又称：零状态响应的频域分析法,一、连续非周期信号通过LTI系统的响应的频域分析,方法1. 已知描述LTI系统的微分方程,方程两边进行Fourier变换，并利用时域微分特性，有,解此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yz
8、s (jw)。,方法2. 已知系统的频率响应 H (jw),对Yzs (jw)进行Fourier反变换，可得,一、连续非周期信号通过LTI系统的响应的频域分析,系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：,Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。,一、连续非周期信号通过LTI系统的响应的频域分析,两种方法都无法直接求解系统的零输入响应。,求解的都是系统的零状态响应，两种分析方法实质相同，一个是h(t)，一个是H(jw)。,频域方法更为直观，较好体现幅度、相位的响应。,1. 虚指数信号ejw t(-t) 通过连续LTI系统的零状态响应,可见，虚指数信号通过LTI系统之后，其零状态响应
9、由系统本身的频率响应来决定。 ejw t和ejnw t都是基本信号，因此，它们线性组合表示的其他信号的零状态响应，也由系统本身的频率响应来决定。,求零状态响应，简言之：时域用卷积法，频域用乘积法。,2. 任意非周期信号 通过连续LTI系统的零状态响应,若信号f(t)的Fourier变换存在，即可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即：,由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yzs (t)。,由积分特性,由均匀性,即,2. 任意非周期信号 通过连续LTI系统的零状态响应,所以，只要知道Yzs (jw)，即可求其对应的零状态响应。,二、连续周期信号通过LTI系统的
10、 响应的频域分析（要求h(t)为实函数）,1. 正弦信号通过系统的响应 y(t),由Euler公式可得,利用虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为,同理,结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。,输出信号的幅度，由系统的幅度响应|H(jw0)|确定,输出信号的相移，由相位响应确定，偏移f(w0),二、连续周期信号通过LTI系统的 响应的频域分析（要求h(t)为实函数）,1. 正弦信号通过系统的响应 y(t),前提条件：h(t)为实函数。所讨论的一般都符合此条件。,同理:,二、连续周期信号通过LTI
11、系统的 响应的频域分析（要求h(t)为实函数）,1. 正弦信号通过系统的响应 y(t),区别于信号的调制定理（频移特性）：频谱搬移,例 已知一连续时间系统的频响特性如图所示，输入信号f (t)时，试求该系统的稳态响应y(t)。,解：,利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点：,则f(t)作用在系统上的稳态响应为：（关键是算出w0）,（h(t)为实函数）,2. 任意周期信号通过系统的响应,将周期为T0的周期信号f(t) 用Fourier级数展开为,利用虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及线性特性可得系统的零状态响应为（频域乘积）,二、连续周期信号通过LTI系统的 响应的频域分析,说明：对
12、周期信号而言，既可以求Cn，也可以求F(jw)，通过这两个频谱函数求出的零状态响应是完全相同的，不同场合方法不同而已。,例 求图示周期矩形波信号通过LTI系统H(jw) = 1/(a + jw) 的响应 y(t)。,解： 周期矩形波信号，其Fourier系数为：,频域乘积频谱与频率响应相乘即得系统（零状态）响应：,参考P220,优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后，信号频谱的改变，在解释激励与响应时域波形的差异时，物理概念清楚。 不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。（3）频域分
13、析法中，傅立叶反变换往往比较复杂。 解决方法：采用后面学到的拉普拉斯变换方法,系统响应频域分析小结,第五章 系统的频域分析：一、 连续时间系统的频率响应H(jw)二、 连续信号的系统响应的频域分析三、无失真系统与理想滤波器四*、离散时间系统的频域分析五、调制与解调,无失真传输系统与理想滤波器,无失真传输系统 理想滤波器的频率响应 理想低通滤波器冲激响应阶跃响应,一、无失真传输系统的定义,所谓无失真传输，即输出后波形的“质”无任何变化，允许各点瞬时值相差一固定的比例常数。即：若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为：,K 为正常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。在知道输
14、入、输出的情况下，直接用此定义式即可判断系统是否是无失真传输系统。,时域特性:,频域特性:,其幅度响应和相位响应分别为,无失真传输系统的幅度响应和相位响应,无失真传输系统应同时满足两个条件：,1) 系统的幅度响应|H(jw)|在整个频率范围内为常数K，即要求系统的带宽为无穷大；,2) 系统的相位响应f(w)在整个频率范围内与 成线性关系。,一、无失真传输系统的定义,例1 已知一LTI系统的频率响应为,(1) 求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2) 当输入为 f(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的稳态响应。,解：(1)依题：,系
15、统的幅度响应|H(jw)|为常数（全通系统），但相位响应f(w)不是w 的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。,例1 已知一LTI系统的频率响应为,(1) 求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2) 当输入为 f(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的稳态响应。,解：(2),正弦类信号通过系统的响应，在频域里表现为信号的属性不变，输出受幅度响应、相位响应的影响：,可见，输出信号相对于输入信号产生了失真。,输出信号的失真是由于系统相位响应的非线性引起的。,输入和输出信号的波形：黑色为原信号，两波峰等高,例1 已知一LTI系统的频率响应
16、为,(1) 求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2) 当输入为 f(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的稳态响应。,解：,二、理想滤波器的频率响应,滤波器即能使信号的一部分频率通过，而另一部分频率通过很少的系统。当通频带为有限值时，又称带限系统。,理想低通,理想高通,理想带通,理想带阻,其他滤波器可由理想低通运算得到，如理想高通可由全通减去理想低通得到,三、理想低通滤波器,幅度响应|H(jw)|在通带0wc 恒为1，在通带之外为0。,相位响应f(w)在通带内与成线性关系,其频率响应（定义式）:,wc：截止角频率,1. 理想低通滤波
17、器的冲激响应,三、理想低通滤波器,从响应的图像可知，输出产生了失真：输入冲激信号，却输出了抽样信号。同时t0时也有输出，非因果系统，所以理想滤波器是物理上不可实现的。,分析：,1) h(t)的波形是一个抽样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。,原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。,减小失真方法：增加理想低通截频wc。 h(t)的主瓣宽度为2p/wc，wc越小，失真越大。当wc 时，理想低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激函数。,三、理想低通滤波器,1. 理想低通滤波器的冲激响应,2) h(t)主峰出现时刻 t = td 比输入信号d (t)
18、 作用时刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。,3) h(t)在 t0 的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。,三、理想低通滤波器,1. 理想低通滤波器的冲激响应,分析：,2. 理想低通滤波器的阶跃响应,三、理想低通滤波器,分析：,1) 阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td 。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。,2) 阶跃响应的建立需要一段时间。从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr,tr =2p/wc，即上升时间tr与理想低通截频wc成反比。wc越大，上升时间就越短，当wc 时，tr
19、0。,2. 理想低通滤波器的阶跃响应,三、理想低通滤波器,3) 存在 Gibbs现象即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽的增加而减小。,分析：,2. 理想低通滤波器的阶跃响应,三、理想低通滤波器,1. 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位响应的斜率。 2. 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。 3. 理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，失真越大。,结论,例
20、求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，- t ，通过线性相位理想低通滤波器: 的响应。,解：需求响应y(t)，先求Y(jw)=H(jw)F(jw)，而F(jw)为：,时域“乘”余弦信号，对应频域：频谱搬移，幅度减半（调制定理）,解：,y(t)= f(t-td) = Sa(t-td)cos2( t-td) ， - t ,2) 当wc 1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即,y(t)=0， - t ,1) 当wc 3时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即,例 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，- t ，通过线性相位理想低通滤波器: 的响应。,解：,3) 当1 wc 3时，只
21、有1wc范围内的频率分量能通过系统：,题目需求的是响应y(t)，利用公式求之,例 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，- t ，通过线性相位理想低通滤波器: 的响应。,*离散信号通过系统的响应 （与连续信号的情况完全类似）,离散系统的频率响应ejW k通过LTI系统的稳态响应任意信号通过系统的响应信号通过线性相位系统的响应理想数字滤波器,一、离散系统的频率响应,幅度响应(magnitude response),相位响应(phase response),群延时 ( group delay ),离散系统的频率响应定义为,二、ejW k通过LTI系统的稳态响应,三、任意离散信号通过系统的响应,
22、四、信号通过线性相位系统的响应,线性相位系统：f(W)= -W k0,，通过线性相位系统的响应为,五、理想数字滤波,(a) 理想低通,(b) 理想高通,(c) 理想带通,(d) 理想带阻,信号与系统频域分析的应用 调制解调,双边带调幅(DSB AMSC)同步解调单边带调幅(SSB AMSC)*频分复用*时分复用,一、双边带调幅 (Amplitute Modulation) 信号的频谱分析,这种写法，其意义与下式完全一样,双边带调幅中各信号频谱,一、双边带调幅 (Amplitute Modulation) 信号的频谱分析,二、同步解调,所谓同步，即：同频同相，缺一不可！因此实际应用中相当复杂，常
23、用在卫星通信当中。,二、同步解调,三、单边带幅度调制,实信号的幅度频谱具有偶对称性，所以只需要单边带即可。,已调信号的解调：采用同步解调,三、单边带幅度解调,单边带幅度调制的实现,方法一：采用带通滤波器,上边带调制框图,改变带通滤波器的通频带可实现下边带调制。由框图可见必须使用理想化的带通滤波器，显然，工程上实现是有问题的，所以这种方法一般不用。,方法二：利用希尔伯特(Hilbert)变换（常用方法）,单边带幅度调制的实现,四、*频分复用的调制系统,频分复用实质上就是将频带分区使用。,四、*频分复用的解调系统,五、*时分复用的调制,将不同的时域信号乘以不同的矩形脉冲，使得不同的信号使用不同的时
24、间段（时间序列），最后再叠加。,五、*时分复用的解调,例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(jw)，试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱图，求出y(t)与f(t)的关系。,解：,例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(jw)，试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱图，求出y(t)与f(t)的关系。,解：,例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(jw)，试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱图，求出y(t)与f(t)的关系。,解：,例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(jw)，试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱图，求出y(t)与f(t)的关系。,解：,例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(jw)，试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱图，求出y(t)与f(t)的关系。,解：,
