1、1圆锥曲线中的四点共圆问题的研究定理 设两条直线 ( )与二次曲线 :00:)iilykx1,2iL( )有四个交点，则这四个交点共圆的充2AxByCxDEAB要条件是 120k证明 由 、 组成的曲线即l，010020()()ykxykx所以，经过它与 的四个交点的二次曲线一定能表成( 、 不同时为 0)L以下形式2 010020()()()AxByCxDEykxykx必要性 若四个交点共圆，则存在 ， 使方程 表示圆，故式左边展开式含 项的系数 .而 ，否则表示曲线，不表示圆，所以12()k120k充分性 当 时，式左边的展开式中不含 的项，取 时，120kxy1令式左边的展开式中含 ，
2、项的系数相等，即 ，得x2y21AkB21kAB此时曲线即 2 0xyCDyE的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆，一个点，无轨迹，而题中的四个交点在曲线上，所以方程表示圆。这就证得了四个交点共圆.下面利用这个定理来解决圆锥曲线中四点共圆问题.例 1 设 、 是椭圆 上的两点，点 是线段 的中点，AB23yx(1,3)NAB线段 的垂直平分线与椭圆相交于 、 两点.CD()确定 的取值范围，并求直线 的方程；AB()试判断是否存在这样的 ，使得 、 、 、 四点在同一个圆上？并说明理由. (2005 年湖北卷)解 () 设点 , 在椭圆 上，因为点 是1()Axy2()23yx(
3、1,3)N线段 的中点，所以 ， ，即 ， .B12y12x26y2又 ， ，两式相减，得213yx23yx221212()()0所以 1212yxxy故直线 的方程为 ,即AB3(1)x4yx又由 N（1，3）在椭圆内，得 ,1232 的取值范围是（12， +）.() 因为 是 的垂直平分线，CDAB所以直线 的方程为 ，即31yx2yx因为 ，由定理，知 、 、 、 四点在同一个圆上.10ABCDkABCD例 2 设 、 是双曲线 上的两点，点 是线段 的中12yx(1,2)NAB点，()求直线 的方程；AB()如果线段 的垂直平分线与双曲线相交于 、 两点，那么 、 、CD、 四点是否在
4、同一个圆上，为什么？(2002 年广东卷)CD解 ()设 , 在双曲线 上，因为点 是线1()Axy2()B12yx(1,2)N段 的中点，所以 ， ，即 ， .B12y12x124y又 ， ，两式相减，得121yx2yx，1211()() 0所以 ，2121yxy故直线 的方程为 ,即AB1xyx() 因为 是 的垂直平分线，CD3所以直线 的方程为 ，即CD2(1)yx3yx所以 ，由定理知 、 、 、 四点在同一个圆上.1()0ABkABCD例 3 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C：在 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜2yx率为- 的直线 与 C 交于 A、 B 两点，点 P 满l足
5、 =OABP+0（）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上。(2011 全国卷)证 设 ，则过 F 且斜率为- 的直线 的方程为 ，12(,)(,)xy 2l21yx与 联立，得 ，所以 ，2410x12x124x由 0 得 ，OABP1212(),()y因为 ，12()x121212)()()1yxxx所以 ，又(,P所以点 P 在 C 上。（）将 ， 两式相减，得21yx21yx，1221212()() 0所以 1212yxxy即 ABkAFBOxy4又 12PQOk由 ，得 A、 P、 B、 Q 四点共圆。=ABPQ
