1、1利用导数研究存在性与任意性1对 ，都有 令 ，则 ；，都有 ； ，都有； 2 ，使得 ，则 ； ，使得； ，都有 ；3 ， ，使得 ； ， ，使得 ； ， ，使得且 21.（ 12 分）已知函数 是 的一个极值点.2(),1xfxeabx()f（1 ）若 是 的唯一极值点，求实数 的取值范围；x（2 ）讨论 的单调性；()f（3 ）若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围 .0x0()fxa21.（ 1） ， 是极值点()12feb1x，故 ， xaa()()xfe是唯一的极值点1x恒成立或 恒成立20ea20xa由 恒成立得 ，又 x xex0a由 恒成立得 ，而 不存在最小值， 不可能恒
2、成立. e 20xea4 分0a2（2 ）由（1 ）知，当 时， ， ； ， .0a1x()0fx1x()0fx在 递减，在 上递增.()fx,)(,)当 时，02ealn(2)1a， ； ， ； ， .ln()xfxl()1x()0fx1()0fx在 、 上递增，在 上递减。f,l(),ln2,a当 时， 在 、 上递增，在 递减。2ea()fx,1)(l),(ln2),1a时， 在 上递增. 8 分()fR（3）当 时， ，满足题意；0a1ea当 时， ，满足题意；2e()f当 时，由（2）知需 或 ，来源:学。科。网 Z。X。X。Ka(0)fa(ln2)fa当 时， ，而 ，故存在 使得
3、 ，这样(0)fa1e10x1()fxa时 的值域为 从而可知满足题意1,x()fx(2,a当 时，得 或者 解得 ；(ln2)faln()1ln(2)3a32e当 时， 可得满足题意.e(0)2f的取值范围 或 . 12 分a3ea例 1已知函数 f(x)(ax 2xa)e x，g(x)bln xx(b0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a 时，若对任意 x1(0,2) ，存在 x21,2，使 f(x1)g(x 2)0 成立，12求实数 b 的取值范围解：(1)由题意得 f(x) (x1)(axa1)e x3当 a0 时，f( x)(x 1)e x，当 x(，1)时，f(x)0，
4、f(x) 在(， 1)上单调递增；当 x(1，)时，f (x) 0，f(x)在(1，)上单调递减当 a0 时，令 f( x)0，则 x1 或 x1 ，1a当 a0 时，因为1 1，1a所以 f(x)在( ，1)和 上单调递增，在 上单调递( 1 1a， ) ( 1， 1 1a)减；当 a0 时，因为1 1，1a所以 f(x)在 和(1，) 上单调递减，在 上单调递( ， 1 1a) ( 1 1a， 1)增(2)由(1)知当 a 时，f( x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，12因此 f(x)在(0,2) 上的最小值为 f(1)0由题意知，对任意 x1(0,2)，存在 x21,2
5、，使 g(x2)f(x 1)成立，因为f( x1)max0，所以 bln x2 x20，即 b x2ln x2令 h(x) ，x1,2 ，xln x则 h(x) 0，ln x 1ln x2因此 h(x)minh (2) ，所以 b ，2ln 2 2ln 24即实数 b 的取值范围是 2ln 2， )例 2(2017南昌模拟)已知函数 f(x)ln xax 2a2(aR ，a 为常数)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若存在 x0 (0,1，使得对任意的 a(2,0，不等式 meaf(x 0)0(其中 e为自然对数的底数)都成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为 (
6、0，)，f(x) 2ax ，当 a0 时，f (x)0，1x 1 2ax2x所以函数 f(x)在区间(0， )上单调递增；当 a0 时，由 f( x)0 且 x0，解得 0x ，12a所以函数 f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减(0， 12a 12a， )(2)由(1)知，当 a(2,0 时，函数 f(x)在区间(0,1上单调递增，所以 x(0,1时，函数 f(x)的最大值是 f(1)22a，对任意的 a(2,0，都存在 x0(0,1，不等式 meaf (x0)0 都成立，等价于对任意的 a(2,0，不等式 mea22a0 都成立，不等式mea22a 0 可化为 m ，2a 2ea
7、记 g(a) (a(2,0)，2a 2ea则 g(a) 0，2ea 2a 2eae2a 4 2aea所以 g(a)的最大值是 g(0)2，所以实数 m 的取值范围是(2，)5例 3(2017沈阳质监)已知函数 f(x) x2aln xb(aR) 12(1)若曲线 yf( x)在 x1 处的切线的方程为 3xy30，求实数 a，b 的值；(2)若 x1 是函数 f(x)的极值点，求实数 a 的值；(3)若2a 0，对任意 x1，x 2(0,2 ，不等式|f(x 1)f(x 2)|m 恒成|1x1 1x2|立，求 m 的最小值解：(1)因为 f(x) x2a ln xb，12所以 f (x)x ，
8、ax因为曲线 y f(x)在 x1 处的切线的方程为 3xy 30，所以Error! 即Error! 解得Error!(2)因为 x1 是函数 f(x)的极值点，所以 f (1)1a0，所以 a1当 a1 时，f( x) x2ln xb，定义域为(0，)，12f(x)x ，1x x2 1x x 1x 1x当 0x1 时，f( x)0，f (x)单调递减，当 x1 时，f( x)0，f(x)单调递增，所以 a1(3)因为2 a0,0x2，所以 f( x)x 0 ，ax故函数 f(x)在(0,2 上单调递增，不妨设 0x 1x 22，则|f(x 1)f( x2)|m 可化为 f(x2) f (x1
9、) ，|1x1 1x2| mx2 mx16设 h(x)f( x) x2aln xb ，mx 12 mx则 h(x1)h(x 2)所以 h(x)为(0,2 上的减函数，即 h(x) x 0 在(0,2上恒成立，ax mx2等价于 x3axm0 在(0,2上恒成立，即 mx 3ax 在(0,2 上恒成立，又2a0，所以 ax2x，所以 x3axx 32x，而函数 yx 32x 在(0,2上是增函数，所以 x32x12(当且仅当 a2，x2 时等号成立)所以 m12，即 m 的最小值为 127练 1.设函数 f（x）=xlna x2ax（a0，a1）（1）当 a=e 时，求函数 f（x）的图象在点（
10、0，f（0）的切线方程；（2）若存在 x1，x 21，1，使得|f （x 1）f（x 2）| e 1（e 为自然对数的底数），求实数 a 的取值范围8练 2.设 f(x) xln x，g(x)x 3x 23ax(1)如果存在 x1，x 20,2，使得 g(x1)g(x 2)M 成立，求满足上述条件的最大整数 M；(2)如果对于任意的 s，t ，都有 f(s)g(t) 成立，求实数 a 的取值范围12，2解 (1)存在 x1，x 20,2，使得 g(x1)g (x2)M 成立，等价于g( x1)g(x 2)maxM由 g(x)x 3 x23，得 g(x) 3 x22x3x (x 23)由 g(x
11、) 0 ，解得 0x ；23由 g(x) 0 ，解得 x0 或 x 23又 x0,2，所以 g(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，0，23 23，2又 g(0)3 ，g(2) 1，故 g(x)maxg(2) 1，g(x)ming (23) 8527所以g (x1)g(x 2)maxg(x) maxg(x) min1 M，8527 11227则满足条件的最大整数 M4(2)对于任意的 s，t ，12，29都有 f(s)g(t)成立，等价于在区间 上，12，2函数 f(x)min g(x)max由(1)可知在区间 上，g(x)的最大值为 g(2)1 12，2在区间 上，f(x) xln
12、x1 恒成立等价于 axx 2ln x 恒成立12，2 ax设 h(x)xx 2ln x，x ，12，2则 h(x) 12xln xx，易知 h(x) 在区间 上是减函数，12，2又 h(1)0，所以当 1x2 时，h(x)0；当 x1 时，h ( x)012所以函数 h(x)xx 2ln x 在区间 上单调递增，在区间 1,2上单调递减，12，1所以 h(x)maxh(1) 1，所以实数 a 的取值范围是1，)练 3.已知函数 f(x)ln xax 1(aR)1 ax(1)当 0a 时，讨论 f(x)的单调性；12(2)设 g(x)x 22bx4当 a 时，若对任意 x1(0,2)，存在 x
13、21,2 ，使14f(x1) g(x2)，求实数 b 的取值范围解：(1)因为 f(x)ln xax 1，1 ax所以 f (x) a ，x(0，)，1x a 1x2 ax2 x 1 ax2令 f(x)0，可得两根分别为 1， 1，1a10因为 0a ，所以 110，12 1a当 x(0,1)时，f (x)0，函数 f(x)单调递减；当 x 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；(1，1a 1)当 x 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减(1a 1， )(2)a ， 13(0,2)，14(0，12) 1a由(1)知，当 x(0,1)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(1,2)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，所以 f(x)在(0,2) 上的最小值为 f(1) 12对任意 x1(0,2)，存在 x21,2，使 f(x1)g(x 2)等价于 g(x)在1,2上的最小值不大于 f(x)在(0,2) 上的最小值 ，(*)12又 g(x)(xb) 24b 2， x1,2，所以，当 b1 时，g(x) ming(1)52b0，此时与(*)矛盾；当 1b2 时，g(x) min4b 20，同样与(*)矛盾；当 b2 时，g(x) ming(2)84b，且当 b2 时，84b0，解不等式 84b ，可得 b ，12 178所以实数 b 的取值范围为 178， )
