1、1强磁体在铜管（或铝管）中下落时的涡流分析江苏省镇江中学 吴好 邮编：212017 电子信箱： 电话：13016829314一、问题的引出：人教版高中物理选修 3-2 课本 “第四章 电磁感应”“第 7 节涡流 电磁阻尼和电磁驱动”“问题与练习”第 3 题：“在科技馆中常看到这样的表演：一根长 1m 左右的空心铝管竖直放置（见图 1甲），把一枚磁性很强的小圆柱型永磁体从铝管上端放入管口，圆柱直径略小于铝管的内径。根据一般经验，小圆柱自由落下 1m 左右的时间不会超过 0.5s，但把小圆柱从上端管口放入管中后，过了许久它才从铝管下端落出。小圆柱在管内运动时，没有感觉到它跟铝管内壁发生摩擦，把小圆
2、柱靠着铝管，也不见它们相互吸引。是什么原因使小圆柱在铝管中缓慢下落呢？如果换用一条有裂缝的铝管（见图 1 乙），圆柱在铝管中的下落就变快了，这又是为什么？”。人教版高中物理选修 3-2 教师教学参考书 提供的参考答案：“在磁性很强的小圆片下落的过程中，没有缺口的铝管中的磁通量发生变化（小圆片上方铝管的磁通量减小，下方铝管的磁通量增大），所以铝管中将产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片产生阻力作用，小圆片在铝管中缓慢下落；如果小圆片在有缺口的铝管中下落，尽管铝管中也会产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片也产生阻力，但这时的阻力非常小，所以小圆片在铝管中下落得比较快。”。本人在教学
3、过程中切身体会到新教材在“涡流 电磁阻尼和电磁驱动”一节编写中，实例丰富，有趣适用。把“强磁体在铝管中下落的实验现象”引入高中物理习题，对拓展高中学生的视野很有好处。该实验是大学物理探究实验的内容，许多大学课本都有类似于这样的习题：“在一铅直放置的足够长的铜管中，有一条形磁铁从管口自由下落，如铜管不动，则条形磁铁的运动将(A) 作自由落体运动(B) 先作加速运动，当速度达到一定值后,一直作匀速直线运动(C) 先作加速运动，次作匀速运动,最后作减速运动(D) 作加速度小于 g 的匀加速落体运动 ”该题提供的标准答案是 B2006 年，上海交通大学还把该题作为保送生和自主招生选拔试题。笔者认为人教
4、版的这道试题选得好，但对于现象的解释有商榷之处：对于管子相对于磁体不太长时，“在磁体下落的过程中（小圆片上方铝管的磁通量减小，下方铝管的磁通量增大），所以铝管中将产生感应电流，感应电流的磁场将对下落的小圆片产生阻力作用，小圆片在铝管中缓慢下落；”的观点，可以接受。但管子相对于磁体足够长时，磁体下落到管子一定深度后，小圆片上、下方铝管的磁通量都可以视为不变，但实验现象可以证实磁体先作加速运动，当速度达到一定值后，一直作匀速直线运动。由此可见对于这个实验现象的解释还要作进一步的研究。以下将笔者对于这个实验现象的研究介绍如下：二、强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象：1、磁极轴向分布的强磁体下落
5、的现象如图 2 所示，将长度 1.60m，内径 12mm，外径 15mm 的紫铜管竖直放置，用 钕铁硼材料制成的圆柱形磁极在轴向分布的磁体（直径 10mm，高度 60mm）从管内无初速释放，大约经过 8s 磁体才从管的下端落出。2、磁极在水平方向的强磁体下落的现象图 12如图 3 所示，若将长度、宽度、厚度分别是 40mm、10mm、3mm 的磁片从上述直管中下落，大约经过 2s 磁体就从管的下端落出。三、对实验现象的探究：1、对磁极轴向分布的强磁体下落现象的解释（1）定性说明管子较长时，磁铁在管中下落一定距离后，磁铁上、下方的磁通量均可以视为不变，根据法拉第电磁感应定律，管内的总电动势为零，
6、管内的涡流是怎样形成的呢？磁铁运动方向 NS磁极轴向分布的强磁体下落图 2磁铁运动方向 NS磁极在水平方向的强磁体下落图 3N磁铁运动方向磁铁运动方向 N磁铁中部以上铜管涡流方向磁铁中部以下铜管涡流方向N S磁铁中部以上部分（从上往下看）磁铁中部以下部分（从下往上看）磁感应强度径向分量感应电流方向 感应电流方向磁感应强度径向分量图 43若将磁体看成不动，管子相对于磁体向上运动，由于存在磁感应强度沿半径方向的分量，管子在做切割磁感线运动，由右手定则可以得出，磁铁上下管子中的涡流方向相反。磁铁上面部分管中的涡流相当于上面是 N 级，下面是 S 级的磁体；磁铁下面部分管中的涡流相当于上面是 S 级，
7、下面是 N 级的磁体，具体解释见图 4。上述分析告诉我们，由于管子的涡流对圆柱形磁体的作用是“上拉下顶”，所以形成对其运动过程的阻力。（2）定量解释由于管子的所有部分以相同的速度做切割磁感线运动，所以管子的任一部分都是电源。管子中长度为 （见图 5）的任一小段沿圆周绕行一周的动生电动势，等L于沿圆周绕行一周的电压降之和。管中任意两点间的电压为零。先计算长为 ，内半径为 ，外半径为 的一段直管沿圆周绕行一周的电阻1r2r。LR离轴心 r 处，截面为 沿圆周绕行一周的电阻的倒数为： rL21所以： 12ln221 rLrRrL由于 略大于 ，可以认为在管壁内相对于磁体的某处磁感应强度沿径向的不2r
8、1同位置，大小相同。当管子与磁铁的相对速度大小为 v 时，忽略 和 的差别。1r2段的电动势： LvrBEz2段的电流 LzRi段电流受到的磁极的作用力riBFzrz2解得：Lrvzz 122ln取如图 5 所示坐标系得：zBrvFz 212ln对 沿 z 轴积分可以求出磁极对涡流的作用力。设 （ ），nrzB01所以当管子长度达到一定值后， 趋于某一个常量，读者可设定数据自己运算。dzr2其物理含义是管子靠近磁极附近的涡流较强，离磁极较远的部分涡流很弱，管子靠近磁极附近的涡流对磁体的电磁力起主要作用。上下涡流反作用于磁极形成对运动NrzrzBF图 5L4磁体的阻力。作为估算上述方法得出收尾速
9、度和实验情形是吻合的，笔者和学生分别用长度分别是 1m、1.6m、2m、6m（在户外）的铝管做实验，磁铁在管中下落不到 20cm，手握直管的力就不再变化，说明此后磁铁做匀速运动。测量磁铁在管中的运动时间，得出磁铁匀速下落的速度都在 20cm/s 左右。2、对磁极在水平方向的强磁体下落现象的解释（1）导体板与磁场相对运动时的安培力计算如图 6 所示，当导体板相对磁场向左运动时，将穿过导体板的磁感应线看成均匀。假设磁铁和导体板的相对运动速度大小为 v，导体板在磁场中的几何尺寸也标在图上，如图 7 所示。导体板的感应电动势大小为 BbvE磁场作用区域的导体部分可看成电源内部，设导体的电阻率为 ，电源
10、内阻为acr根据涡电流的方向，相邻电流线间的电阻可以看成并联，由于导体板的面积比磁场区域面积大的多，可以认为外电路电阻为零。因此感应电流的上限为BacvrEI磁场对导体板的作用力即磁场对电流的作用力的上限为vabcBIF2由式可以看出，在导体板的面积相对于导体在磁场区域的面积较大的情况下，磁感应强度越强，磁场区域内的导体体积越大，磁场与导体板的相对速度越大，导体的电阻率越小，磁场对铝板的作用力即电磁驱动力的大小越大。（2）磁极在水平方向的强磁体下落时，铜管中的涡流分布将图 3 中下落的磁铁看着不动，管子相对于磁体向上运动，自右向左观察管的右边，其涡流分布与图 7 类似，涡流反作用于磁极的作用力
11、向上；管子左面的涡流分布与图 7 中磁场、电流反向，涡流反作用于磁极的作用力向上。下面粗略计算涡流反作用于磁极的磁力上限大小。将实验数据 ，ma40Babc导体板相对磁场运动速度 v图 6ab导体板相对磁场运动速度 v图 7安培力方向F5， ， ， ， 代入mb10c5.TB05.smv8. m8107.铜式，并注意到两面涡流反作用于磁极得： NF7.2根据磁铁最终匀速得 ，磁铁的质量gF2为 ，这个数值和实验选用的磁铁质kg0.量还是比较接近的。3、磁铁在有裂缝的铝管中下落较快的原因分析由于管子整体相对于磁体做切割磁感线运动，关于磁体上下对称处的管子中的感应电动势大小相同、方向相反，通过裂口
12、处形成闭合回路（如图 8 所示）。由于裂口表面薄层的电阻较大，磁铁与管子的相对速度较小时，感应电流较弱，所以涡流反作用于磁极的电磁力较弱。要使涡流反作用于磁极的电磁力等于磁铁的重力，磁体必须以较快的速度下落。简单的说，就是回路的电阻变大，要达到和无裂口的管子相同的涡流，必需要增大电动势，即增大管子与磁体的相对运动速度。四、建议1、对于本文开头的练习题分两种类型的电磁阻尼现象给出。（1）磁极轴向分布的强磁体下落的现象（2）磁极在水平方向的强磁体下落的现象2、对于磁极轴向分布的强磁体下落的现象解释用管子切割磁感线为宜，用右手定则判定感应电流方向。进一步给出图 4 的涡流分布，现象一目了然。3、对于
13、有裂口的管子的涡流分析，若让学生认识到要形成回路，必需要关于磁体上下对称选择回路（这样分析比较简单）。由于电流要经过缺口处，相对于无裂口的管子的电阻变大，相同电动势的情况下电流变小。要达到和无裂口的管子相同的涡流，必需要增大电动势，即增大管子与磁体的相对运动速度。这样分析比较准确，学生也容易理解。五、说明在探究“强磁体在铜管（或铝管）中下落现象”时，还发现了一个有趣的现象。用普通条形磁铁在空气中竖直下落，下落高度在 2m 左右，磁体始终处于竖直状态。但用“直径 10mm，高度 60mm”的磁极轴向分布的圆柱形钕铁硼磁铁，在竖直状态无初速下落，发现下落 30cm 左右磁铁就转了 90。若干次实验
14、说明，每次旋转都是沿南北方向偏转。将磁体反复调整角度，在角度适当时能够发现磁体在下落过程中，一直处于平动状态。这说明地磁场对强磁体的磁力作用是比较明显的。这同时也提供了一种测定地磁场方向的简单方法。这种现象可以作为学生的探究实验，它的名字可以叫“用落体法测定地磁场的方向”。“强磁体在铜管（或铝管）中下落现象”；“导体板与磁场相对运动时”的电磁驱动小车，本人均设计了演示实验，演示效果较好。以下附自制电磁驱动演示实验介绍；强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象和用落体法测定地磁场的方向演示实验说明。磁铁运动方向 N图 86自制电磁驱动演示实验介绍钕铁硼强力磁铁其磁极附近的磁感应强度可以达到 B=
15、0.05T（用霍尔传感器测出），利用其强磁性，可以使许多电磁感应实验现象更加明显，以下是笔者利用钕铁硼磁铁自制的电磁驱动演示实验的介绍。1、实验现象：（现象 1）在水平桌面上放置一根学生用铝制刻度尺，将磁铁的磁极贴近刻度尺表面掠过刻度尺，很容易发现刻度尺随着磁铁移动。做这个演示实验时由于磁铁与刻度尺靠的比较近，容易碰到刻度尺，学生会误以为是磁铁与刻度尺的滑动摩擦引起刻度尺的移动。为了使学生确信实验的真实性，可以将学生用铝制刻度尺放在比较光滑的硬质薄板（如普通的贺年卡、薄铝板等）上，将磁铁的磁极贴着薄板的背面滑动，能明显观察到刻度尺在硬质薄板上滑动。（现象 2）如图 9 所示，用手抓住磁铁，将磁
16、铁的磁极从铝板的表面掠过，手上会感觉到明显的阻力。将铝板放在铝制的小车上，当磁铁与铝板相对运动时，会看到铝板带动小车的加速运动。磁铁的磁极离铝板越近、磁铁与铝板的相对速度越大，铝板带动小车的运动现象越明显。2、器材制作：这里介绍（现象 2）的器材：磁铁可以用废旧电动自行车的定子上的磁片制成，也可以到厂家加工。铝板面积大小约 40(cm) (cm)，厚度0约 0.3mm.铝制小车是用铝合金窗框的方管边角料制成。利用铝合金方管的好处是可以增加铝板与其接触处的厚度，也就是增加磁场作用区域的金属的厚度（本文在后面进行理论分析）；再就是利用方管的高度，避免磁铁与小车铁质部分的物体由于磁铁的吸引而影响演示
17、效果，最后将铝板与铝合金方管用铝焊焊接而成。3、原理分析：当磁铁靠近铝板时，将穿过铝板的磁感应线看成均匀如图 10 所示。假设磁铁和铝板的相对运动速度大小为 v，铝板在磁场中的几何尺寸也标在图上。见图 11，将磁体看成不动，铝板相对磁场向左运动，铝板的感应电动势大小为BbENS铝板磁铁的运动方向图 9 Babc导体板相对磁场运动速度 v图 107磁场作用区域的导体部分可看成电源内部，设导体的电阻率为 ，电源内阻为acbr根据涡电流的方向，相邻电流线间的电阻可以看成并联，由于铝板的面积比磁场区域面积大的多，可以认为外电路电阻为零。因此感应电流的上限为BvrEI磁场对铝板的作用力即磁场对电流的作用
18、力的上限为vabcIF2若取磁极面积（4cm 2cm），铝板厚度 0.3mm，B=0.05T， v=5m/s,代入式得：F=0.1N。m810.2铝由式可以看出，在导体板的面积相对于导体在磁场区域的面积大的情况下，磁感应强度越强，磁场区域内的导体体积越大，磁场与导体板的相对速度越大，导体的电阻率越小，磁场对铝板的作用力即电磁驱动力的大小越大。在其它条件一定的情况下，电磁驱动力与磁感应强度的平方成正比，所以选用强磁材料可以使演示效果非常明显。此外，导体板不宜太厚，厚度大会增加导体板的质量，同时由于从磁极处向外随距离增大，磁感应强度减小很快，因而在其它条件不变的条件下，作用力的增加并不是与厚度正比
19、。因此本实验用适当厚度的铝板，并同时适度增加磁场作用区域的铝板厚度，增强演示效果。实物示意图见图 12.图 12NS磁铁的运动方向ab导体板相对磁场运动速度v 图 11 安培力方向 F8强磁体在铝管（铜管）中下落过程的实验现象1、磁极轴向分布的强磁体下落的现象如图 13 所示，将长度 1.60m，内径 12mm，外径 15mm 的紫铜管竖直放置，用钕铁硼材料制成的圆柱形磁极在轴向分布的磁体（直径 10mm，高度 60mm）从管内无初速释放，大约经过 8s 磁体才从管的下端落出。2、磁极在水平方向的强磁体下落的现象如图 14 所示，若将长度、宽度、厚度分别是 40mm、10mm、3mm 的磁片从
20、上述直管中下落，大约经过 2s 磁体就从管的下端落出。用落体法测定地磁场的方向1、 用普通条形磁铁在空气中竖直下落，下落高度在 2m 左右，磁体始终处于竖直状态。这说明地磁场对弱磁性的磁体，磁力作用影响较小。2、 用“直径 10mm，高度 60mm”的磁极轴向分布的圆柱形钕铁硼磁铁，在竖直状态无初速下落，发现下落 30cm 左右磁铁就转了 90。若干次实验说明，每次旋转都是沿南北方向偏转。这说明地磁场对强磁体的磁力作用是非常明显的。3、 将磁体反复调整角度，在角度适当时能够发现磁体在下落过程中，一直处于平动状态。设法测出磁体与水平方向的夹角，即地磁场的方向与水平方向的夹角。磁铁运动方向 NS磁极轴向分布的强磁体下落图 13磁铁运动方向 NS磁极在水平方向的强磁体下落图 14
