1、重 心 的 性 质 ： （ 三条中线的交点）1、 重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 2 1。 2、 重 心 和 三 角 形 任 意 两 个 顶 点 组 成 的 3 个 三 角 形 面 积 相 等 。 即 重 心 到 三 条 边 的 距 离 与 三 条 边 的 长 成反 比 。 3、 重 心 到 三 角 形 3 个 顶 点 距 离 的 平 方 和 最 小 。 4、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 数 ， 即 其 重 心 坐 标 为 （ (X1+X2+X3)/3， （ Y1+Y
2、2+Y3)/3。 5. 以 重 心 为 起 点 ， 以 三 角 形 三 定 点 为 终 点 的 三 条 向 量 之 和 等 于 零 向 量 。外 心 的 性 质 ： （ 三条边的垂直平分线的交点） 1、 若 O 是 ABC 的 外 心 ， 则 BOC=2 A（ A 为 锐 角 或 直 角 ） 或 BOC=360-2 A（ A 为 钝角 ） 。 2、 当 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 三 角 形 内 部 ； 当 三 角 形 为 钝 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 三 角 形 外 部 ； 当三 角 形 为 直 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 斜 边 上 ， 与 斜
3、 边 的 中 点 重 合 。 3、 计 算 外 心 的 坐 标 应 先 计 算 下 列 临 时 变 量 ： d1， d2， d3 分 别 是 三 角 形 三 个 顶 点 连 向 另 外 两 个 顶 点 向量 的 点 乘 。 C1=d2d3， c2=d1d3， c3=d1d2； c=c1+c2+c3。 外 心 坐 标 ： ( (c2+c3)/2c， (c1+c3)/2c， (c1+c2)/2c )。 4、 外 心 到 三 顶 点 的 距 离 相 等垂 心 的 性 质 ： （ 三条高的交点） 1、 三 角 形 三 个 顶 点 ， 三 个 垂 足 ， 垂 心 这 7 个 点 可 以 得 到 6 个
4、四 点 圆 。 2、 三 角 形 外 心 O、 重 心 G 和 垂 心 H 三 点 共 线 ， 且 OG GH=1 2。 （ 此 直 线 称 为 三 角 形 的 欧 拉 线 ）3、 垂 心 到 三 角 形 一 顶 点 距 离 为 此 三 角 形 外 心 到 此 顶 点 对 边 距 离 的 2 倍 。 4、 垂 心 分 每 条 高 线 的 两 部 分 乘 积 相 等 。内 心 的 性 质 ： （ 三个内角的角平分线的交点）1、 直 角 三 角 形 的 内 心 到 边 的 距 离 等 于 两 直 角 边 的 和 减 去 斜 边 的 差 的 二 分 之 一 。 2、 P 为 ABC 所 在 空 间
5、中 任 意 一 点 ， 点 O 是 ABC 内 心 的 充 要 条 件 是 ： Po=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c). 3、 O 为 三 角 形 的 内 心 ， A、 B、 C 分 别 为 三 角 形 的 三 个 顶 点 ， 延 长 AO 交 BC 边 于 N， 则 有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 4、 (欧 拉 定 理 ) ABC 中 ， R 和 r 分 别 为 外 接 圆 为 和 内 切 圆 的 半 径 ， O 和 I 分 别 为 其 外 心 和 内 心 ， 则OI2=R2-2Rr 5、 （ 内 角 平 分 线 分 三 边 长 度 关 系 ）ABC 中 ， O 为 内 心 ， A、 B、 C 的 内 角 平 分 线 分 别 交 BC、 AC、 AB 于 Q、 P、 R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 6、 内 心 到 三 角 形 三 边 距 离 相 等 。旁 心 的 性 质 ： （ 外角的角平分线的交点）1、 每 个 三 角 形 都 有 三 个 旁 心 。 2、 旁 心 到 三 边 的 距 离 相 等 。 附 ： 三 角 形 的 中 心 ： 只 有 正 三 角 形 才 有 中 心 ， 这 时 重 心 ， 内 心 ， 外 心 ， 垂 心 ， 四 心 合 一 。
