1、1第 2 讲 导数及其应用考情考向分析 1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是 B 级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级热点一 函数图象的切线问题例 1 已知函数 f(x) x3(1 a)x2 a(a2) x b(a， bR)(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求 a， b 的值；(2)若曲线 y f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围解 f( x)3 x22(1 a)x a(a2)(1)由题意得Error!解得 b0， a3 或 a1.(2)因为曲线 y f(x)存在两
2、条垂直于 y 轴的切线，所以关于 x 的方程 f( x)3 x22(1 a)x a(a2)0 有两个不相等的实数根，所以 4(1 a)212 a(a2)0，即 4a24 a10，解得 a .12所以 a 的取值范围是 .( ， 12) ( 12， )思维升华 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切2线方程，再考虑该切线与其他条件的关系跟踪演练 1 (1)(2018常州期末)已知函数 f(x) bxln x，其中 bR，若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y f(x)相切，则 k b 的值为_答案 1e解析 因为 f(x) bxln x(x0)，所以 f( x)
3、b ，1x设过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y f(x)相切于点( x0， bx0ln x0)，则切线方程为 y( bx0ln x0) (x x0)，(b1x0)因为该切线过原点，所以( bx0ln x0) ，(bx0 1)解得 ln x01， x0e，所以 k b ，1e故 k b .1e(2)(2018江苏泰州中学月考)若曲线 y x2与曲线 y aln x 在它们的公共点 P(s， t)处12e具有公共切线，则实数 a 的值为_答案 1解析 两曲线的导数分别是 y x， y ，1e ax因为在 P 处有公切线，所以 且 aln s，se as s22e解得 a1.热点二 利用导数研究函
4、数的单调性例 2 已知函数 f(x)2ln x bx，直线 y2 x2 与曲线 y f(x)相切于点 P.(1)求点 P 的坐标及 b 的值；(2)若函数 g(x) x (a0)，讨论函数 h(x) g(x) f(x)的单调区间ax解 (1)设 P(x0， y0)为直线 y2 x2 与曲线 y f(x)的切点坐标，则有 2ln x0 bx02 x02.因为 f( x) b(x0)，所以 b2.2x 2x0联立解得 b0， x01，则切点 P(1,0)， b0.(2)由(1)知 f(x)2ln x，则 h(x) g(x) f(x) x 2ln x(x0)ax求导得 h( x)1 (x0)ax2
5、2x x2 2x ax23令 y x22 x a(x0)若 44 a0，即 a1 时， y0，即 h( x)0，此时函数 h(x)在定义域(0，)上为增函数；若 44 a0，即 0x2时， y0，即 h( x)0， h(x)为增函数；当 x10 或f( x)0)，2x2 3x由题意可知， f 1，解得 a1.(23)故 f(x) x 3ln x， f( x) ，2x x 1x 2x2根据题意在区间 上，由 f( x)0，得 x2.32， 3于是在区间 上，32， 3当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 32 (32， 2) 2 (2,3) 3f( x) 0 f(x) 1
6、3ln 2 f(x)min f(2)13ln 2.(2)f( x) a (x0), 2x2 3x ax2 3x 2x2由题意可得方程 ax23 x20 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1， x2，并令 h(x) ax23 x2，则Error! Error!解得 00) (x)的导函数(1)若 f(x)的极大值为 0，求实数 a 的值；(2)若函数 g f(x)6 x，求 g 在 上取到最大值时 x 的值(x) (x) 0， 1解 (1) f( x)6 x26 ax6 x(x a) .(a0)令 f( x)0，得 x0 或 x a.当 x(，0)时， f( x)0， f(x)单调递增；当
7、 x(0， a)时， f( x)0， f(x)单调递减；当 x( a，)时， f( x)0， f(x)单调递增故 f(x)极大值 f(0)3 a20，解得 a .23(2)g(x) f(x)6 x2 x33 ax26 x3 a2( a0)，则 g( x)6 x26 ax66( x2 ax1)， x0,1当 0 a2 时， 36( a24)0，所以 g( x)0 恒成立， g(x)在0,1上单调递增，则 g(x)取得最大值时 x 的值为 1；当 a2 时， g( x)的对称轴 x 1，且 36( a24)0， g(1)6(2 a)a20， g(0)60，所以 g( x)在(0,1)上存在唯一零点
8、 x0 .a a2 42当 x(0， x0)时， g( x)0， g(x)单调递增，当 x( x0,1)时， g( x)0， g(x)单调递减，则 g(x)取得最大值时 x 的值为 x0 .a a2 42综上，当 0 a2 时， g(x)取得最大值时 x 的值为 1；当 a2 时， g(x)取得最大值时 x 的值为 .a a2 421(2017江苏)已知函数 f(x) x3 ax2 bx1( a0， bR)有极值，且导函数 f( x)的极值点是 f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；6(2)证明： b23a；(3)若 f(x
9、)， f( x)这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围72(1)解 由 f(x) x3 ax2 bx1，得 f( x)3 x22 ax b3 2 b .(xa3) a23当 x 时， f( x)有极小值 b .a3 a23因为 f( x)的极值点是 f(x)的零点，所以 f 10，(a3) a327 a39 ab3又 a0，故 b .2a29 3a因为 f(x)有极值，故 f( x)3 x22 ax b0 有实根，所以 4 a212 b0，从而 b (27 a3)0，即 a3.a23 19a当 a3 时， f( x)0(x1)，故 f(x)在 R 上是增函数， f(x)没有极值；
10、当 a3 时， f( x)0 有两个相异的实根 x1 ， x2 . a a2 3b3 a a2 3b3当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (， x1) x1 (x1， x2) x2 (x2，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)的极值点是 x1， x2.从而 a3.因此 b ，定义域为(3，)2a29 3a(2)证明 由(1)知， .ba 2aa9 3aa设 g(t) (t3 )，2t9 3t 3则 g( t) .29 3t2 2t2 279t2当 t 时， g( t)0，(362， )7从而 g(t)在 上单调递增(362， )又 3 ，故 g
11、(t)g(3 ) ，3362 3 3即 .因此 b23a.ba 3(3)解 由(1)知， f(x)的极值点是 x1， x2，且 x1 x2 a， x x .23 21 2 4a2 6b9从而 f(x1) f(x2) x ax bx11 x ax bx2131 21 32 2 (3x 2 ax1 b) (3x 2 ax2 b) a(x x ) b(x1 x2)2x13 21 x23 2 13 21 2 23 20.4a3 6ab27 4ab9记 f(x)， f( x)所有极值之和为 h(a)，因为 f( x)的极值为 b a2 ，a23 19 3a所以 h(a) a2 ， a3.19 3a因为
12、h( a) a 0，x 1x x 1x2所以 g(x)在(0，)上单调递增又因为 g(1)0，所以当 01 时， g(x) f( x)0，因此 f(x)在(1，)上单调递增，所以当 x1 时， f(x)的最小值为 f(1)0.(2)当 a0 时， g( x)0，8所以 g(x)在(0，)上单调递增又 g(1 a)ln(1 a) ln 1 0，11 a 11 ag(e2 )1e 2a0，则 g(1)g( a)0，则 f(x)在( a， x1)上单调递减，在( x1，)上单调递增，所以 x1是 f(x)的极小值点，不合题意综上所述， a 的取值范围是(，e 2 A 组 专题通关1(2018南通模拟
13、)若曲线 y xln x 在 x1 与 x t 处的切线互相垂直，则正数 t 的值为_答案 e 2解析 yln x1 ， 1，(ln 1 1)(ln t 1)ln t2，解得 te 2 .2已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)ln( x)3 x，则曲线 y f(x)在点(1，3)处的切线方程是_答案 2 x y10解析 设 x0，则 x0， f( x)ln x3 x，又 f(x)为偶函数，所以当 x0 时， f(x)ln x3 x， f( x) 3，所以 f(1)2，所以切线方程为 2x y10.1x3已知 a0，函数 f(x)( x22 ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减
14、函数，则 a 的取值范围是_9答案 34， )解析 f( x)(2 x2 a)ex( x22 ax)ex x2(22 a)x2 aex，由题意知当 x1,1时， f( x)0 恒成立，即 x2(22 a)x2 a0 在 x1,1时恒成立令 g(x) x2(22 a)x2 a， x1,1，则有Error!即Error!解得 a .344已知函数 f(x) x3 ax2 bx a27 a 在 x1 处取得极大值 10，则 的值为_ab答案 23解析 由题意知 f( x)3 x22 ax b， f(1)0， f(1)10，即Error!解得Error!或Error!经检验Error! 满足题意，故
15、.ab 235若函数 f(x) ax3 ax2(2 a3) x1 在 R 上存在极值点，则实数 a 的取值范围是13_答案 (0,3)解析 求导可得 f( x) ax22 ax2 a3.函数 f(x) ax3 ax2(2 a3) x1 存在极值点，13 f( x)0 有两个不等实根，其判别式 4 a24 a(2a3)0，0 a3， a 的取值范围是(0,3)6函数 y x2cos x 在区间 上的最大值是_0， 2答案 6 3解析 y12sin x，令 y0，且 x ，得 x ，0， 2 6当 x 时， y0；当 x 时， y0 时， y x2在 a， a1上单调递增， y x2的最大值是(
16、a1) 2，故 a2( a1)2，所以 00， f(x)单调递增；x(1，)时， f( x)0 时， f( x) .ax 1x3 (x 2a)(x 2a)当 01，2a12当 x(0,1)或 x 时， f( x)0， f(x)单调递增；(2a， )当 x 时， f( x)2 时，00， f(x)单调递增；(0， 2a)当 x 时， f( x)2 时， f(x)在 内单调递增；在 内单调递减，在 (1，)内单调递增(0， 2a) (2a， 1)10已知函数 f(x) x3 ax2 x2.(1)试问函数 f(x)能否在 x 处取得极值？请说明理由；33(2)若 a1，令 g(x)2 x f(x)，
17、求函数 g(x)在(1,2)上的极大值、极小值；(3)若函数 f(x)在 上为单调增函数，求实数 a 的取值范围(13， )解 (1)由题意知 f( x)3 x22 ax1，假设在 x 处 f(x)取得极值，则有33f 1 a10，解得 a .(33) 233 3此时， f( x)3 x22 x1( x1) 20， f(x)为 R 上的增函数，无极值3 3所以函数 f(x)不可能在 x 处取得极值33(2)当 a1 时， g(x)2 x( x3 x2 x2) x3 x2 x2，所以 g( x)3 x22 x1.13由 g( x)0，得 x 或 x1.13当 x(1,2)时， g( x)， g(
18、x)的变化情况如下表：x ( 1， 13)13 ( 13， 1)1 (1,2)g( x) 0 0 g(x) 5927 1 所以函数 g(x)在 x 处取得极小值 ；在 x1 处取得极大值1.13 5927(3)因为 f( x)3 x22 ax1 的对称轴为 x .a3若 ，即 a1 时，要使函数 f(x)在 上为单调增函数，则有a3 13 ( 13， ) 4 a2120，解得 a ，所以 a1；3 3 3若 1 时，要使函数 f(x)在 上为单调增函数，a3 13 ( 13， )则有 f 3 22 a 10，(13) ( 13) ( 13)解得 a2，所以 175 x，解得 20，得 x1，所
19、以函数 f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)g(x) a(x1) 2ln x，15则 g( x)2 a(x1) .1x 2ax2 2ax 1x令 h(x)2 ax22 ax1( x0)，若函数 g(x)有两个极值点，则方程 h(x)0 必有两个不相等的正实根设两根为 x1， x2，于是Error!解得 a2.当 a2 时， h(x)0 有两个不相等的正实根，设为 x1， x2，不妨设 x10， g( x)0，函数 g(x)在( x1， x2)上为增函数；当 xx2时， h(x)0， g( x)1 时， f( x)0， f(x)在(1，)上为增函数，所以，当 x(0， b
20、(10 时， f( x) .2ax 1(x 12a)x(i)当 时，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：12a 12x (0， 12a) 12a (12a， 1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 若满足题意，只需满足 f f(2)，(12a)16即 1 a 2ln 1 aln 2，12a (12a 1) 12a整理得 ln 2 aln 210.14a令 F(a) ln 2 aln 21 ，14a (a12)当 a 时， F( a) 0，12 1a 14a2 4a 14a2所以 F(a)在 上为增函数，(12， )所以，当 a 时， F(a)F ln 2 ln 0.12 (12) 12 e 12可见，当 a 时， f f(2)恒成立，故当 a ， x(0， b(1 满足题意12(ii)当 1，即 a 时， f( x) 0，当且仅当 x1 时取等号12a 12 x 12x所以 f(x)在(0，)上为减函数，从而 f(x)在(0， b上为减函数，符合题意(iii)当 1，即 01ln 2，且 a .12a 12a 14又 1ln 2 ，所以 a1ln 2.此时，1ln 21ln 2.所以实数 a 的取值范围是(1ln 2，)
