1、数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位 :i它的平方等于-1，即 21i2. 与1 的关系 : 就是1 的一个平方根，即方程ix2=1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是 i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆iiii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的(,)abRa实部， 叫复数的虚部 奎 屯王 新 敞新 疆全体复数所成的集合叫做复数集，用b字母 C 表示 奎 屯王 新 敞新 疆 复数通常用字母 z 表示，即 (,)zbiR5. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0 时，复数(,
2、)abiRa+bi(a、b R)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时， z=bi 叫做纯虚数； a0 且 b0 时，z=bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆如果a，b，c， dR ，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 即使是 也没有大小。3,62i如果两个复数都是实数，就可
3、以比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 当两个复数不全是实数时不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 （1）实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设 z1=a+bi，z 2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，8复数 z1 与 z
4、2 的加法运算律： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数 z1 与 z2 的减法运算律： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.复数的加法运算满足交换律和结合律10.复数 z1 与 z2 的乘法运算律： z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.幂运算： 123i415i611.复数 z1 与 z2 的除法运算律： z1z2 =(a+bi)(c+di)=（分母实数化）idcaba22复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭
5、复数 奎 屯王 新 敞新 疆虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 奎 屯王 新 敞新 疆 ，,zabiiabR通常记复数 的共轭复数为 。例如 =35i 与 =35i 互zzzz为共轭复数13. 共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2） 2Z（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称14.复数的两种几何意义： 点 ),(baZ向量 OZ一一对应一一对应一一对应复数 Rbai,15 几个常用结论（1） ， （2）i2ii21（3） ， （4） ii（5） （6）i12baiba16.复数的模：若向量 表示复数 z，则称 的模 r 为复数 zOZOZ的模， 复数 的模 bia2ba17、复数的化简（ 是均不为 0 的实数） ；的化简就是通过分母cdizab,实数化的方法将分母化为实数： 2acbdabcicdiciabizab18、 为两点间的距离。BAABzz
