1、针对演练1. (2017 营口)如图，抛物线 yax 2bx2 的对称轴是直线x1，与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为(2， 0)，点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点D，交直线 BC 于点 E.(1)求抛物线解析式；(2)若点 P 在第一象限内，当 OD4PE 时，求四边形 POBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点B，D ，M ， N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2. (2017 枣庄
2、改编) 如图，抛物线 y x2bxc 与 x 轴交于点12A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为(6，0) ，点 C 坐标为(0 ，6)，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD.(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；(2)点 F 是抛物线上的动点，当FBABDE 时，求点 F 的坐标；(3)若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，在平面内是否存在一点 Q，使四边形MPNQ 是以线段 MN 为对角线的正方形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图 备用图3. (2017
3、兰州节选) 如图，抛物线 yx 2bxc 与直线 AB 交于 A(4， 4)，B(0 ，4)两点，直线 AC：y x6 交 y 轴于点 C.12点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF x 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G.(1)求抛物线 yx 2bxc 的表达式；(2)连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；(3)在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E ，F，H 为顶点的四边形是矩形，求出此时点 E，H的坐标第 3 题图答案针对演练1.解：(1) 抛物线 yax 2bx2 的对称轴是直线x1，A (2
4、，0) 在抛物线上， ， b2a 1（ 2） 2a 2b 2 0)解得 ，a 14b 12)抛物线解析式为 y x2 x2；14 12(2)令 y x2 x20，14 12解得 x1 2，x 24，当 x0 时， y2，B(4，0)，C(0，2)，设 BC 的解析式为 ykxb，则 ，4k b 0b 2)解得 ，k 12b 2)直线 BC 的解析式为 y x2，12设 D(m，0)，DP y 轴，E(m， m2)，P( m， m2 m2)，12 14 12OD4PE，m4( m2 m2 m2)，14 12 12解得 m5 或 m0(舍去)，D(5，0)，P(5， )，E(5， )，74 12S
5、 四边形 POBES OPD S EBD 5 112 74 12 12 ；338(3)存在点 N 的坐标为( ， )或( ， )或(5 ， )或92 14 235 45 255 55(5 ， )时，以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形255 55【解法提示】设 M(n， n2) ，以 BD 为对角线，如解图12，四边形 BNDM 是菱形，MN 垂直平分BD， n ，M( ， )，M，N 关于 x 轴对称，4 52 92 92 14N ( ， )；92 14第 1 题解图 第 1 题解图以 BD 为边，如解图，(i)当四边形 BDM1N1 为菱形时，M1N1BD ， M1N1BDM 1D1
6、，过点 M1 作 M1Hx 轴于H，M 1H2 DH2DM ，即( n2) 2( n5) 21 2，解得 n14(舍去)，2112n2 ，M 1( ， )， N1( ， )；(ii)当四边形 BDN2M2 为菱形时，285 285 45 235 45M2N2BD ， M2N2BDBM 21，过点 M2 作 M2Qx 轴于Q，M 2Q2 BQ2BM ，即( n2) 2(n4) 21 2，解得212n14 ，n 24 ，M 2(4 ， )，N 2(5 ， )，255 255 255 55 255 55M 3(4 ， )， N3(5 ， )综上所述，当点 N 坐标255 55 255 55为( ，
7、)或( ， )或 (5 ， )或(5 ， )时，以点92 14 235 45 255 55 255 55B，D ，M ， N 为顶点的四边形是菱形2.解：(1) 把点 B(6，0)、C(0，6)代入 y x2bxc 中得，12， 18 6b c 0c 6 )解得 ，b 2c 6)抛物线的解析式为 y x22x6.12将解析式化为顶点式为 y (x2) 28，12顶点 D 的坐标为(2，8)；(2)设 F(x， x22x6)，如解图，12第 2 题解图当点 F 在 x 轴上方时，过点 F 作 FGx 轴于点 G，FBABDE，FGB DEB90，BFG DBE， ，FGBE BGDEBE6 24
8、，DE 8， ，FGBG BEDE 48 12BG 2FG，即 6x2( x22x6)，12化简得 x2 5x60，解得 x1 1，x 26( 舍去)，当 x 1 时， x22x6 ，12 72F(1， )；72当点 F 在 x 轴下方时，如解图 ，记为 F，同理可得6x2( x22x 6)12化简得 x2 3x180解得 x1 3，x 26( 舍去)，当 x 3 时， x22x6 ，12 92F(3， )，92综上所述，点 F 的坐标为(1， )或( 3， )；72 92(3)假设存在点 Q 使四边形 MPNQ 是以线段 MN 为对角线的正方形，由正方形的性质可知，点 P 就是抛物线对称轴与
9、 x 轴的交点，如解图，直线 l1，l 2 即是正方形边所在的直线，分别与抛物线交于点 M2、N 1、M 1、N 2，M 1N1、M 2N2 分别与对称轴交于点 E1、E 2.第 2 题解图设直线 l1 的解析式为 yx b，l 1 过点 P(2，0)，l 1 的表达式为 yx 2，联立方程组 ，y 12x2 2x 6y x 2 )解得 或 ，x1 1 17y1 17 1) x2 1 17y2 17 1)N 1(1 ， 1)，M 2(1 ， 1) ；17 17 17 17又Q 1E1E 1PE 1N1E 1M1，Q 2E2E 2PM 2E2E 2N2，点Q1、 Q2 都在抛物线的对称轴上，存在
10、满足条件的点 Q，点 Q 的坐标分别为(2，2 2)，17(2，2 2)173.解：(1) 抛物线 yx 2bxc 的图象过 A(4，4)，B(0，4)两点， ， 16 4b c 4c 4 )解得 ，b 2c 4)抛物线表达式为 y x22x4；(2)如解图 ，设 lAB的解析式为 ymx n，第 3 题解图代入 A(4 ，4)，B(0，4)两点， ， 4m n 4n 4 )解得 ，m 2n 4)直线 AB 的表达式为 y2x4.B(0，4)，OB 4，设 E(x，2x4)，G( x， x22x4)，GE ( x22x4)(2x 4)x 24x.四边形 GEOB 是平行四边形，OB GE，GE
11、BO，即x 24x4，解得 x1x 22，当 xG2 时，y G4 ，G( 2，4)；(3)如解图 ，设 E(a，2a4)，F(a， a6)，12第 3 题解图过点 A 作 AKy 轴于点 K，交 GF 于点 Q，过点 H 作 HPGF于点 P，AK4，OK4，BC10，KC OCOK 642，BKBC KC1028，AC 2AK 2KC 24 22 220，AB 2AK 2BK 24 28 280，BC 210 2100，AC 2AB 2BC 2，即BAC90，当BAC90且四边形 AEHF 是平行四边形时，四边形AEHF 是矩形，EH AF，EHAF，HEP AFQ ，EPH FQA 90 ，EPH FQA，PH QA，EP FQ，0aa(4) ，解得 a2，E(2，0)，y H4 ( a6)，12解得 yH 1，点 H 的坐标为(0，1)
