1、人教A版选修2-1 高二数学,空间向量与立体几何 -空间角,学习目标,1、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。 2、了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。,1.两条异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a a, b b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. (2)范围: (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角为 ,则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.,空间三种角的向量求解方法,1.两条异面直线所成的角
2、(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a a, b b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. (2)范围: (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角为 ,则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.,考点回顾：,2.直线与平面所成的角 (1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围: (3)向量求法:设直线l的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为 , 则有,3.二面角 (1)范围: (2)二面角的向量求法: 若AB、CD分别是二面角
3、的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是 向量 与 的夹角(如图(1) 设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2),(1),(2),典例解析,例1： 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) A、 B、 C、 D、,D,变式1：正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于( ) A、 B、 C、 D、,D,例2：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点 (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的
4、正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论,解析：解法1：(1)如图，以A为坐标原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,小 结,小 结,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：
5、,关键：观察二面角的范围,1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ） A、 B、 C、 D、2、(2009年四川）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是,当堂检测,M,3、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四 边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD. ()证明：PABD； ()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。,分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。,解：(1)证明：在三角形ABD中，因为该三角形为直角三角形，所以,（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是,则,设平面PAB的法向量为 ，,所以，,同理设平面PBC的法向量为 ，,取得，,取得,于是，,因此二面角的余弦值是,课下作业,1、如图5，在圆锥PO中，已知PO= ，O的直径AB=2,C是弧AB的中点，D是AC的中点 （）证明：平面POD 平面PAC; （）求二面角B-PA-C 的余弦值。,2、如图所示，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD ，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM60. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角SAMB的余弦值,
