1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示.,字母表示法：,用字母a,b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,复习平面向量,向量的加法：,平行四边形法则,三角形法则(首尾相连),平面向量的加减法运算,向量的减法,三角形法则,减向量终点指向被减向量终点,看下面建筑,这个建筑钢架中 有很多向量，但它们 有些并不在同一平面 内这就是我们今 天要学习的空间向量,1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 2. 了解空间向量的概念. 3. 掌握空间
2、向量的加减运算. （重点）,1. 空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）.向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).,探究点1 概念,2. 空间向量的表示,（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量 （zero vector），记为 .当有向线段的起点A与 终点B重合时，AB = .（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量 的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大 小.,提升总结,3. 相反向量与向量 长度相等而方向相反的向量, 称为 的相反向量，记为 .4. 相等向量（equal v
3、ector）方向相同且模相等的向量称为相等向量.,（1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量.（3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.,提升总结,提示：空间任意两个向量都是共面向量， 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.,给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同. （2）若空间向量 满足 ，则 . （3）在正方体 中，必有 . （4）若空间向量 满足 ， 则 . （5）空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4,C,【即时训练】,1. 空
4、间向量的加减运算由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同.,探究点2 空间向量的加减运算,空间向量如何进行运算？,a-b,a+b,a,b,o,A,B,C,加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.,2. 空间向量的加法运算律（1）加法交换律a + b = b + a（2）加法结合律(a + b) + c = a + (b + c),你能证明下列性质吗？,证明加法交换律:,a,a+b,a,b,o,A,B,C,b,因为 OA = CB = a，AB = OC = b， 所以 a + b = b + a.,证明加法结合律:,
5、因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c), 所以 (a + b) + c = a + (b + c).,(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广.(2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立.(3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加.,3.对空间向量的加减法的说明,4.扩展,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的量 即：,（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量即：,常用关系与常用数据: ABC中, 以a,b为邻边的平行四边形中,ab表示平行四边
6、形 的对角线; 0+a=a.,已知平行六面体ABCD-ABCD，化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量.,【即时训练】,解:,.,.,提升总结始点相同的三个不共面向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始 点为始点的体对角线所表示的向量.,答案：,2.如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中. (1)试写出与 相等的所有向量. (2)试写出 的相反向量. (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量 的模.,【解题探究】1.判断两个向量是否相等的关键是什么? 提示:判断两个向量是否相等的关键是判断这两个向量的大小和方向是否都相同.,2.典例
7、2中长方体的12条棱之间有什么位置关系和大小 关系?长方体的体对角线长度如何计算? 提示:12条棱可分为三组,每一组中四条棱互相平行且 相等,如AA1,BB1,CC1,DD1平行且相等.若长方体共顶点 的三条棱长分别为a,b,c,则长方体的体对角线长度为,2.(1)与向量 相等的所有向量(除它自身之外)有 共3个. (2)向量 的相反向量为 (3),D,提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向 不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键,A,B,M,C,G,D,4、空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：,A,B,M,C,G,D,(2)原式,化简空间向量的常用思路 (1)分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四 边形法则进行化简. (2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向 量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将 其转化为首尾相接的向量求和. (3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量 走边路(即沿几何体的边选择途径).,
