1、3.1.1 空间向量及其加减运算,【课标要求】 1、利用向量的线性运算，数乘运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题; 3.会用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去解决解立体几何题问题。,【能力发展目标】 通过自主学习，类比平面向量的相关知识，了解空间向量的含义，在具体情景中能用有向线段及记号表示空间向量。知道空间零向量、单位向量、相等向量、相反向量的定义理解“平行四边形法则”、“三角形法则”在空间的适用性（2）会运用“平行四边形法则”、“三角形法则”进行空间向量的加减运算（3）体验空间向量加法的交换律、结合律能够借助
2、图形理解其几何意。提高学生思维能力和空间想象能力。 【学习重点】空间向量加减运算的意义及运算律； 【学习难点】空间向量加减运算的几何意义。,课前自主预习,【学习任务一】空间向量的基本概念 1.如图是一个物体的受力情况,分析,F1,F2,F3是不是在同一个平面上的向量?,提示:F1,F2,F3是既有大小又有方向的量,它们是不在同一个平面上的向量.,2.观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量 它和以前所学的向量有什么不同?,提示: 是不在同一平面内的向量,而以前所学的向量都在同一平面内.,3.在上面三个向量 中,若正方体的棱长为1,单位向量有哪些?提示: 的长度都为1,都是单位向量.,4
3、.在上面图中,与 方向相反的向量有哪些?与 相等的向量有哪些?5.单位向量和相等向量的区别是什么？,6.通过以上探究过程,试着总结对空间向量的认识: （1）用文字语言描述:与平面向量类似,空间中的向量就是空间向量,空间中也有零向量、单位 向量、相反向量、相等向量。 （2）空间向量相关概念:,【学习任务二】向量的加法、减法 1.类比平面向量的三角形法则与平行四边形法则,思考. 图与图分别是计算两个向量a,b的和,它们使用了加法的哪一种运算法则?,2.如何计算空间两个向量的和与差? 提示:如图,空间中的两个向量a,b相加时,我们可以先把向量a,b平移到同一个平面内,以任意点 O为起点作 =a, =
4、b,则 =a+b, =b-a.,3.观察如图两组几何体对应向量的运算,反映的是向量加法的哪一种运算律?,4.通过以上探究,描述空间向量加、减法则. 用文字语言描述:空间向量的加减运算与平面向量类似， 仍遵循平行四边形法则和三角形法则.,用图象语言描述:, 空间向量的加法与减法:如图=_=_,=_=_,5.空间向量的加法有哪些运算律？你能证明吗？6.结合教材P85探究,你认为应如何进行空间向量的加减运算? 第一步:_. 第二步:_.,【课堂小测】 1.化简下列各式:(1) (2) (3) (4) 结果为零向量的 个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 2.给出下列命题: 零向量没有
5、确定的方向. 空间向量是不能平行移动的. 有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大. 如果两个向量不相同,那么它们的长度也不相等. 其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,3.如图所示,平行四边形ABCD的对角线交点是O,则下列等式成立的是 ( ),4.如图所示,平面ABC平面ABC,AA=BB= CC,则 是_向量, 是_向量.,5.把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成的图形是_.,6.在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为矩形,化简下列各式.(1) (2) (仿照教材P85的探究过程),【课堂互动探究】 1.向量可以用有向线段表示,是
6、否可以说向量就是有向线段? 2.空间向量和平面向量有什么区别?它有什么作用? 3.“空间任何两个向量都是共面的”,这个结论是否正确? 4.三角形法则是否可推广到多边形法则?,方法总结:空间向量问题的处理方法 1.数形结合法:化简向量表达式时注意结合图形灵活选取几何载体. 2.转化法:通过投影将空间问题转化为平面问题;在进行空间向量减法运算时,注意利用相反向量把减法运算转化为加法运算.,【规律总结】明确两个关系做概念辨别题 (1)模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. (2)向量的模与向量大小关系:
7、由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的. 【拓展延伸】处理向量概念问题的解题关键及注意点 (1)解题关键:明确向量相关概念的特点. (2)注意点: 向量:判断与向量有关的命题时,要抓住向量的大小与方向,两者缺一不可. 单位向量:方向虽然不一定相同,但长度一定为1.,【巩固训练】下列命题中,假命题是 ( ) A.向量 的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等,【变式训练】给出下列命题: 向量 是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直 线上; 单位向量都相等; 任一向量与它的
8、相反向量不相等; 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件; 共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 其中正确的是_(填序号).,类型二:空间向量的加法与减法 【典例2】已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果所表示的向量.,【延伸探究】(改变问法)已知如典例图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,则有: (1)_+_= . (2)_+_+_= .,2.向量加减运算的两种特殊情况 (1)不平行时的作图：两个向量不平行时，用图象作出两个向量的和或差；直接用平行四边形法则或用三角形法则即可. (2)a-b表示的是由减向量
9、b的终点指向被减向量a的终点的一条有向线段.,【规律总结】 1.如何化简向量表达式 (1)利用法则:化简向量表达式时主要是利用平行四边形法则与三角形法则. (2)活用相反向量:在化简过程中遇到减法时,可灵活应用相反向量把减法转化为加法.,(3)常见结论:化简过程中常见的化简形式,【变式训练】在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简并在图中标出化简结果所表示 的向量.,【规律总结】空间向量加减法则应用的两个技巧： (1)数形结合:构造对应图形,在图形中标出空间各向量,以便灵活应用平行四边形法则或三角形法则. (2)由繁到简:化简多个向量时,观察分析“首尾相接”的向量使之结合,从而化多为少.,学习任务三、整理提高： 1.知识： （1）概念： （2）运算：2、思想方法：,
